<em>Все стороны правильного треугольника касаются сферы диаметром 4 дм, плоскость треугольника удалена на расстоянии 1 дм от центра сферы. <u>Найдите сторону треугольника</u></em><u>.</u>
Любое сечение сферы плоскостью - окружность.
Плоскость треугольника АВС пересекает сферу по линии, являющейся окружностью с центром М (рис.1),
Сделаем схематический рисунок (рис.2)
Т.к. диаметр сферы=4 дм, ее радиус ОН равен 2 дм
ОМ=1 дм, ОН=2 дм
НМ=r
По т.Пифагора
<span>r=√(2²-1²)=√3
</span>Радиус вписанной в правильный треугольник окружности (а сечение сферы - вписанная в данный треугольник окружность) равен 1/3 высоты треугольника. (рис.3)
Тогда высота треугольника СН=3*√3
Сторона правильного треугольника равна частному от деления его высоты на синус 60º
АВ=АС=СВ=[3√3):√3]:2
<span>АВ=6 дм</span>
1)
ΔАВС=ΔMNP ⇒ периметры и соответствующие стороны равны.
АB=MN=7 см;
ВС=NP= 6 см;
Р=18 см;
АС=MP=P-(AB+BC)= 18-(6+7)=5 см.
2)
в равнобедренном треугольнике стороны против равных углов - равны ⇒ СА=СВ.
3)
треугольник АВК - равнобедренный (по условию), медиана, проведенная из его вершины является высотой и биссектрисой. ⇒ АВК=60°;
угол ДВА - смежный с углом АВК = 180-60=130°.
Все углы треугольника острые, т.е. меньше 90 градусов. Смежный угол с углом треугольника по определению будет тупым, т.е. больше 90 градусов. Следовательно и больше указанных нам двух углов!