О - центр окружности. Если построить вторую окружность - на отрезке МО, как на диаметре, то все основания [<em>заданных в задаче</em>] перпендикуляров будут лежать на этой окружности (<em>надо объяснять, почему?</em> :) - <em>потому что МО - диаметр :)</em> ). Кроме того, поскольку углы между [<em>заданными в задаче</em>] диаметрами первой окружности одинаковые, а во второй окружности это вписанные углы, то основания перпендикуляров делят вторую окружность на равные дуги. А равным дугам, как известно, соответствуют равные хорды [<em>второй окружности</em>]. Поэтому основания перпендикуляров являются вершинами правильного n - угольника, где n - число диаметров первой окружности. ЧТД.
Можно было бы усложнить условие, задав в начале не n диаметров, а правильный многоугольник с ЧЕТНЫМ числом вершин, например, 2m. Тогда основания перпендикуляров, опущенные на большие диагонали, образуют правильный m-угольник.
Сразу возникает вопрос, а что будет, если исходный правильный многоугольник имеет нечетное число сторон 2m + 1?
Ну, и еще :) А если точка М лежит за пределами окружности, что это меняет?