Поскольку А1В1 II АВ, то ищем угол между А1с и А1В1. Соединим В1 и С. Получился треугольник СА1В1, в котором СА1 = СВ1 = √2, а А1В1 = 1. В этом равнобедренном треугольнике надо найти косинус угла при основании (обозначим его Ф).
Конечно, cos(Ф) = (A1B1/2)/A1C = 1/(2*√2) = √2/4;
1) Дана трапеция АВСД. ВС+АД = 9, АС = 5, ВД = √34.
Найти площадь трапеции.
Можно построить равновеликий треугольник АСД1 со сторонами 5, 9 и √34 и найти его площадь по формуле Герона, но одна сторона выражена корнем.
Поэтому находим косинус угла САД1.
cos(САД1) = (25+81-34)/(2*90 = 5*9) = 72/90 = 4/5.
Синус этого угла равен √(1-(16/25)) = √(9/25) = 3/5.
Тогда искомая площадь равна:
S = (1/2)*5*9*(3/5) = 27/2 = 13,5 кв.ед.
2) Дана трапеция с основаниями ВС =10 и АД =15, и с диагоналями АС = 2√61 и ВД = 3√41.
Найти её площадь и выяснить: <span>можно ли в эту трапецию вписать окружность и описать около неё окружность?
</span>Четырехугольник можно вписать в окружность<span> тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна 180º. Отсюда следует, что вписать в </span>окружность<span> можно только равнобокую </span>трапецию.
В четырехугольник окружность<span> можно вписать только в том случае, если суммы его противоположных сторон равны.
</span>
Построим равновеликий треугольник АСД1 с боковыми сторонами как диагонали трапеции и основанием АД1 = 10 + 15 = 25.
Из точки С опустим перпендикуляр СЕ = Н (это высота и треугольника и трапеции).
Примем АЕ = х, ЕД1 = 25 - х.
По Пифагору Н² = АС² - х² = (СД1)² - (25 - х)².
Приравняем: АС² - х² = (СД1)² - (25 - х)² и подставим длины диагоналей.
244 - х² = 369 -625 + 50х - х².
50х = 500.
х = 500/50 = 10.
Так как АЕ = ВС, то угол А трапеции прямой.
Сторона АВ = Н = 12.
Сторона СД = √(12² + (15-10)²) = √(144 + 25) = √169 = 13.
Ответ: S = ((10+15)/2)*12 = 25*6 = 150 кв.ед.
По окружностям - нет и нет.
3) Из условия вытекает, что трапецию можно отрезком СЕ, параллельным АД, разделить на 2 фигуры: АДСЕ с равными сторонами (это ромб с диагоналями а и в) и равнобедренный треугольник СЕВ (СЕ = ЕВ). Высота этого треугольника из подобия треугольников равна половине АС, то есть равна а/2.
Поэтому площадь заданной трапеции равна:
S = (1/2)a*b + (1/2)*(a/2)*b = (ab/2) + (ab/4) = 3ab/4.
S- площадь параллелограмма
h - высота
a - сторона
формула : S=ah
S= 21 * 15 = 315
Первый катет - х
второй катет - 2х
по теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы
х²+2х²=10²
3х²=100
х=√100/3 = 10/√3 - первый катет
2* 10√3=20√3 - второй катет