<span><em>В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ диагонали грани A₁B₁C₁D₁ пересекаются в точке O. <u>Назовите линейный угол</u> двугранного угла DA₁C₁D₁</em></span>
––––––––––––––––––––––
<u>Определение: </u> <em>Двугранный угол — пространственная геометрическая фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой, а также часть пространства, ограниченная этими полуплоскостями.</em>
<em>Линейный угол-это угол образованный пересечением двугранного угла с плоскостью, перпендикулярной к его ребру.</em>
Все грани куба - квадраты. Их диагонали равны, пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам.
Искомый угол - это угол DOD₁ между плоскостями А₁С₁D₁ и A₁C₁D, где D₁O ⊥ A₁C₁, как половина диагонали грани, а DО ⊥ А₁С₁ как наклонная, чья проекция перпендикулярна прямой ( т. о трех перпендикулярах). Плоскость DD<span>₁O перпендикулярна граням двугранного угла. </span>
В приложении с рисунком найдена и примерная величина этого угла ≈ 54,7°
<em>Значит, против этой стороны лежит угол, равный</em>
<em>180°- (42°+78°)=60°, а по теореме синусов, эта сторона относится к синусу 60°, как два радиуса описанной около треугольника окружности. Поэтому радиус равен R=a/2sinα;</em>
<em>6/(2sin60°)=6/(2*√3/2)=6√3/3=</em><em>2√3/см/</em>
) Рассмотрим треугольники АОС и ДОВ.
Угол АОС равен углу ДОВ, так как они вертикальные.
АО = ОВ (так как О - середина АВ)
ОС=ОД (так как О - середина СД), ⇒
Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, откуда следует равенство сторон АС и ВД.
2) Рассмотрим треугольники СОВ и АОД.
Угол СОД равен углу АОД, так как они вертикальные.
СО = ОД (по доказанному)
ОВ = ОД (по доказанному), ⇒
Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, откуда следует равенство сторон СВ и АД.
3) Рассмотрим треугольники АСВ и ВДА.
АВ - общая сторона.
АС = ВД (по доказанному)
ВС = АД (по доказанному), ⇒
Треугольники равны по трём сторонам (третий признак равенства треугольников), что и требовалось доказать.
Решим прямоугольный треугольник, гипотенуза которого 8√2. Окажется, что катет(а он будет являться радиусом окружности)равен 8. Значит, длина этой окружности равна l=2πR? А площадь круга S=πR². Соответственно, Длина дуги большей части круга равна 0,75*2πR=1,5πR. А чтобы посчитать площадь, надо к 3/4 площади круга прибавить площадь прямоугольного треугольника с катетами=R. S=0,75πR²+0,5R²=R²(0,75π+0,5)