В прямоугольном треугольнике АМD катет MD равен:
MD=a*tgα (так как tgα =MD/AD = MD/a).
В квадрате ABCD половина диагонали OD = a*√2/2.
Тогда в прямоугольном треугольнике OMD гипотенуза ОМ является искомым расстоянием от вершины М до прямой АС (так как плоскость ВМD перпендикулярна плоскости основания). По Пифагору МО = √(OD²+MD²) или МО = √[(a²+2a²*tg²α)/2] = a√[(1+2tg²α)/2].
Но 1+2tg²α = 1+2*Sin²α/Cos²α = (Cos²α + 2*Sin²α)/Cos²α = (Cos²α + Sin²α +Sin²α)/Cos²α = (1+Sin²α)/Cos²α.
Тогда МО = a√[(1+Sin²α)/Cos²α)/2] = a*√[2*(1+Sin²α)]/2*Cosα.
Площадь полной поверхности нашей пирамиды равна сумме площадей основания и боковых граней, причем площади граней MDA и MDC равны, также как и площади граней MВA и MВC. Итак,
Smabcd = Sabcd+2*Smda+2*Smba.
Sabcd = a² (площадь квадрата).
Грани MDA и MDC прямоугольные треугольники, так как <MDA и <MDC равны 90°.
Грани MВA и MВC прямоугольные треугольники, так как <MAВ и <MCВ равны 90° в силу перпендикулярности плоскостей MDA и MDC к плоскости основания ABCD (cм. вид сверху) .
В прямоугольном треугольнике MDA гипотенуза МА = a/Cosα.
Smda = (1/2)*MD*AD = (1/2)*a*tgα*a = (1/2)*a²*tgα.
Smba = 1/2)*MA*AB = (1/2)*(a/Cosα)*a = (1/2)*a²/Cosα.
Тогда площадь полной поверхности пирамиды MABCD равна:
Smabcd = a²+a²tgα+a²/Cosα =a²(1 + tgα + 1/Cosα) = a²(Cosα+Sinα+1)/Cosα.
Sinα·cosα=0,25
Умножим на 2 и прибавим 1:
1+2sinα·cosα=1+2·0,25
заменим
1=sin²α+cos²α
sin²α+cos²α+2sinα·cosα=1,5
По формуле a²+2ab+b²=(a+b)²
(sinα+cosα)²=1,5
sinα+cosα= √3/2 или sin α+cosα=-(√3/2)
Биссектриса делит прямой угол пополам
значит угол между медианой и стороной треугольника равен
90-45-19=26
медиана, проведённая из вершины прямого угла равна половине гипотенузы
получается равнобедренный треугольник с равными углами при основании по 26
градусов
значит один острый угол равен 26, а второй - 180-90-26=64 градуса
ответ 64
Нарисуйте рисунок, должно быть всё понятно.
<span />
Ответ: PE II DF,
Доказательство: DEPF - прямоугольник, у которого стороны DE, PF - паралельны и равны, так как EF и DP - две диагонали DEPF, делящие прямоугольник на две пары равнобедренных равных своей паре треугольников EMD=PMF, EMP=DMF.
Вышеуказанные пары треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.