пирамида КАВС, К-вершина, АВС-равносторонний треугольник, проводим высоту ВН на АС, О-пересечение медиан=высот=биссектрис- центр основания пирамиды, КО-высота пирамиды, КН-апофема=6, площадь боковая=1/2*периметр*апофема, 162=1/2*периметр*6, периметр=54, АВ=ВС=Ас=54/3=18, ВН=АВ*корень3/2=18*корень3/2=9*корень3, ОН=1/3ВН (медианы в точке О делятся в отношении 2/1), ОН=9*корень3/3=3*корень3,
1. AF - перпендикуляр к плоскости треугольника,FC- наклонная, AC - проекця наклонной. AC⊥ ВС ⇒FC⊥ВС.
∠FCA линейный угол двугранного угла с ребром ВС.
2. Проведем АМ⊥ВС, соединим М с F. FM - наклонная к плоскости треугольника, АМ - ее проекция. AM⊥BC⇒FM⊥BC.
∠FMA- линейный угол двугранного угла с ребром ВС. Высота АМ в равнобедренном треугольнике АВС является его медианой, М - середина ВС.
3.В третьей задаче высота АМ придет на продолжение ВС за точку С. Линейный угол FMA. А конкретное положение М на продолжении ВС зависит от величины угла С.
Радиус описанной вокруг прямоугольника окружности равен 13.
<em><u>Диаметр окружности, следовательно, равен 26,</u></em> и является диагональю данного по условию прямоугольника.
Обозначим вершины прямоугольника <em>АВСД</em>.
Тогда <em><u>ВД - его диагональ</u></em> и делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника -АВД и ВСД.
<em>Рассмотрим треугольник ВСД</em>.
Гипотенуза равна 13, и вспоминается одна из троек Пифагора с отношением его сторон сторон прямоугольного треугольника 5:12:13. Отношение сторон этого треугольника может быть таким же:
ВС:СД:ВД=<em>5:12:13
</em>Т<u><em>огда его гипотенуза 26, катеты 10 и 24,</em></u>
И площадь прямоугольника АВСД= 10*24=240.
Всё сходится.
Но не всегда вспоминаются эти тройки, да и отношение сторон может быть иным.
<em><u>Решение.</u></em>
Площадь треугольника ВСД равна половине площади прямоугольника АВСД и равна 120.
Проведем в этом треугольнике<u><em> высоту СН.</em></u>
Площадь ВСД=СН*26:2
120*2=СН*26
<em>СН</em>=240/26=<em>120/13 </em>
ВС - сторона прямоугольника = катет треугольника ВСН.
Найти его можно из этого треугольника по т.Пифагора.
Для того, чтобы найти ВН, воспользуемся правилом:
<em>Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины </em>
<em> прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой;</em>
СН²=ВН*НД
(120/13)²=ВН*(26-ВН)
Обозначим<em> ВН=х,</em> тогда <em>НД=26-х</em>
Подставим в уравнение высоты эти значения:
<em>1400/169=26х-х² </em>
Домножим обе части уравнения на 169, чтобы избавиться от дроби:
1400=4394х-169х²
<em>169х²-4394х+14400=0</em>
Решим квадратное уравнение:
Дискриминант равен:
<em>D=b²-4ac=</em>-43942-4·169·14400=<em>9572836</em>
х=(-b±√D):2а
<em>х1</em>=-(-4394)+√9572836):2*169= (4394+3094):338=7288/338=<em>288/13</em>
Второй корень находить нет необходимости.
Найдем <em><u>катет ВС. </u></em>
<em>Катет прямоугольного треугольника есть среднее </em><span><em> пропорциональное между гипотенузой (ВД) и отрезком (ВН) гипотенузы, заключенным между катетом и высотой. </em></span><em> </em>
ВС²=ВН²+СН²
ВС²=(288/13)²+(120/13)²
ВС²=576
<em>ВС=24</em>
Из площади прямоугольника найти вторую его сторону не составит труда.
<em>АВ=</em>240:24=<em>10</em><em> </em>
Периметр прямоугольника
<span><em> Р</em>=2(АВ+ВС)=2*(24+10)=<em>68 </em></span>
В. 1 и 3 - внутренние односторонние углы. Подобными являются 2 и 4, но такого варианта нет.