Основанием четырёхугольной пирамиды SABCD является прямоугольник ABCD, где AB = 2√3, BC = 2√6. Основание высоты пирамиды - это центр прямоугольника. Из вершин А и С опущены перпендикуляры АР и CQ к ребру SB.
1. Докажите, что P - середина отрезка BQ
2. Найдите угол между гранями SBA и SBC, если SD = 6
Боковые ребра пирамиды равны (так как вершина проецируется в центр основания).
Значит АS=BS=CS=DS=6.
Грани - равнобедренные треугольники.
а) Рассмотрим равнобедренный треугольник АSВ. В нем высота SH1, опущенная на основание AB по Пифагору равна SH1=√(SA²-AH1²)= √33.
Соответственно, площадь грани АSB равна Sasb=(1/2)*AB*SH1=√99.
Тогда АМ (высота к боковой стороне BS) равна АP=2Sasb/SB или
АP=2√99/6=√99/3. МВ по Пифагору равно PВ=√(АВ²-АP²) или
PВ=√(12-99/9)=√(9/9)=1.
Точно также в треугольнике ВSC имеем:
SH2=√(36-6)=√30.
Sbsc=(1/2)*BC*SH2=√6*√30=6√5.
CQ=2Sbsc/SC или CQ=2√5. Тогда
BQ=√(BC²-CQ²) или BQ=√(24-20)=√4=2.
Итак, доказано, что BQ=2*BP, то есть точка P - середина BQ.
б) Двугранные углы измеряются линейным углом, то есть углом, образованным пересечением двугранного угла с плоскостью, перпендикулярной к его ребру. Таким образом, чтобы измерить двугранный угол, можно взять любую точку на его ребре и
перпендикулярно ребру провести из неё лучи в каждую из граней.
Возьмем на ребре BS точку Р и проведем из нее в гранях ASB и CSB
перпендикуляры. Один из них нам уже знаком - это отрезок АP. Второй - отрезок РK, который будет параллелен отрезку СQ и равен его половине (так как PK - средняя линия треугольника BQC, поскольку точка P - середина отрезка BQ - доказано выше). По Пифагору АK=√(АВ²+ВK²) или АK=√(12+6)=3√2.
Тогда по теореме косинусов искомый угол АPK равен:
Cosα = (b²+c²-a²)/2bc. Или
Cosα = (АP²+PK²-AK²)/2*АP*PK.
Cosα = (99/9+5-18)/(2*(√99/3)*(√5))=-2/81,97=-0,135.
Мскомый угол равен arccos(-0,135) или α≈97,76°.
угол BAD и ADK наконец лежащие значит они равны BAD=64:2=32
BAD=ADK=DAK=32
DKA=180-32-32=116
Площадь трапеции равна половине произведения оснований на высоту:
130=0,5*(x+14)*13
130/13/0,5=x+14
20=x+14
x=6
Ответ:6
Рассмотрим ΔАСН, являющийся половиной исходного. Площадь его в два раза меньше
S(ACH) = 1/2*AC*РН
S(АВС) = 1/2*АС*ОВ
ОВ = 24 по условию, значит, РН = 12
В прямоугольном ΔСРН по теореме Пифагора
СР² + РН² = СН²
СР² + 12² = 20²
СР² + 144 = 400
СР² = 256
СР = 16
ΔСРН и ΔАСН подобны - один угол общий, один угол прямой
СР/СН = СН/СА
16/20 = 20/СА
СА = 400/16 = 25 см
И площадь ΔАВС
S(АВС) = 1/2*АС*ОВ = 1/2*25*24 = 300 см²