Для решения задачи (найти АК) надо использовать Δ АСК. В нём известен катет. Искать надо гипотенузу. Чтобы её найти, надо знать второй катет СК
СК можно найти из Δ ЕСК (прямоугольный равнобедренный. В нём известна гипотенуза ЕС = 12√2, а два равных катета неизвестны) ЕК = СК = х.
По т. Пифагора x^2 + x^2 = (12√2)^2
2x^2 = 144·2
x^2 = 144
x = 12 ( ЕК = CK )
Теперь Δ АСК можно использовать. По т. Пифагора (АК)^2 = 35^2 + 12^2
(AK)^2 = 1225 +144= 1369
AK = 37
Катет равен 16 см. Другой катет по свойству биссектрисы равен 6х, а гипотенуза 10х, по теореме Пифагора
100х²=16²+36х²
64х²=16²
х=2
значит, площадь равна 6*2*16/2=32/см²/
Проведем высоту трапеции СН. АС биссектриса прямого угла, значит угол САН=45° и АН=СН.
По Пифагору <span>АС²=АН²+СН². 36=2АН². АН=СН=3√2.
</span>В прямоугольном треугольнике НСD: угол НDС равен 60°, значит <HCD=30°. <span>Против угла 30° лежит катет, равный половине гипотенузы.
Тогда по </span>Пифагору: СD²=HD²+СН² или <span>4HD²-HD²=СН² или 3HD²=18.
Тогда HD=√6. </span>Основание трапеции АD=АН+HD=3√2+√6.
Итак, АD=3√2+√6, ВС=АН=3√2, СН=3√2.
Площадь трапеции S=(ВС+АD)*СН/2 или
S=(3√2+3√2+√6)*3√2/2=(36+3√12)/2=(36+6√3)/2=18+3√3.
Ответ: S=18+3√3.
Можно и так:
Площадь трапеции равна сумме площадей квадрата АВСН и треугольника <span>НСD, то есть АН*СН+(1/2)СН*НD или
S=18+(1/2)*3√2*√6=18+3√3.</span>