Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 625, основание равно 350. Найдите радиус вписанной окружности.
========================================================
<h3>Рассмотрим некоторые способы решения данной задачи:</h3><h3><em>▪</em><u><em>Первый способ:</em></u></h3><h3>Применим общеизвестную формулу: S = р • r</h3><h3>где S - площадь n-угольника , р = ( a₁ + а₂ +...+аₙ )/2 - полупериметр , r - радиус вписанной окружности в n-угольник.</h3><h3>p = ( AB + BC + AC )/2 = ( 625 + 625 + 350 )/2 = 800</h3><h3>Для нахождения площади ΔАВС пойдём двумя путями:</h3><h3>1) Найдём площадь по формуле Герона:</h3><h3>S = √( p•( p - a )•( p - b )•( p - c ) )</h3><h3>где р = ( а + b + c )/2 - полупериметр треугольника, а,b,c - стороны данного треугольника</h3><h3>S abc = √( ( 800•( 800 - 625 )•( 800 - 625 )•( 800 - 350 ) ) = √( 800•175•175•450 ) = 105 000</h3><h3>2) ΔАВС - равнобедренный, ВН ⊥ АС ⇒ АН = НС = АС/2 = 350/2 = 175 - по свойству равнобедренного треугольника</h3><h3>Рассмотрим ΔАВН: по т. Пифагора</h3><h3>ВН² = АВ² - АН² = 6252 - 1752 = ( 625 - 175 )•( 625 + 175 ) = 450 • 800 = 360 000</h3><h3>ВН = 600</h3><h3>S abc = АС•ВН/2 = 350•600/2 = 105 000</h3><h3>r = S / p = 105 000 / 800 = 131,25</h3><h3><em>▪</em><u><em>Второй способ:</em></u></h3><h3>Точка О - центр вписанной окружности. Как известно, центром вписанной окружности является точка пересечения биссектрис ⇒ АО - биссектриса ∠А</h3><h3>Применим свойство биссектрисы угла в тр. АВН ( см. приложение ):</h3><h3>Биссектриса угла в треугольнике делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам</h3><h3>ВО/ОН = АВ/АН = 625/175 = 25/7</h3><h3>Для нахождения ОН = r пойдём двумя путями:</h3><h3>1) Пусть ОН = х, тогда ОВ = 600 - х</h3><h3>600 - х/х = 25/7</h3><h3>25х = 4200 - 7х</h3><h3>32х = 4200</h3><h3>х = 4200/32 = 131,25</h3><h3>2) Пусть ВО = 25х , ОН = 7х , тогда</h3><h3>ВО + ОН = ВН</h3><h3>25х + 7х = 600</h3><h3>32х = 600</h3><h3>х = 600/32 = 18,75</h3><h3>Отсюда ОН = 7х = 7•18,75 = 131,25</h3><h3><em>▪</em><u><em>Третий способ:</em></u></h3><h3>ΔВЕО подобен ΔВНА по двум углам:</h3><h3>∠ОВЕ - общий ; ∠ОЕВ = ∠АНВ = 90°</h3><h3>Составим отношения сходственных сторон:</h3><h3>ОВ/AB = BE/BH ⇒ OB = AB•BE/BH = 625•450/600 = 468,75</h3><h3>OH = BH - OB = 600 - 468,75 = 131,25</h3><h3><em>▪</em><u><em>Четвёртый способ:</em></u></h3><h3>Из теоремы об отрезках касательных, проведённых из одной точки, следует ( см. приложение ):</h3><h3>АН = АЕ = НС = СК = 175 ; ВК = ВЕ = АВ - АЕ = 625 - 175 = 450</h3><h3>Из теоремы о касательной и секущей следует ( см. приложение ):</h3><h3>Пусть BP = x, тогда</h3><h3>ВЕ² = BP • BH</h3><h3>450² = х • 600</h3><h3>х = 450² / 600 = 337,5</h3><h3>ОН = РН / 2 = ВН - ВР / 2 = 600 - 337,5 / 2 = 262,5 / 2 = 131,25</h3><h3><em>▪</em><u><em>Пятый способ:</em></u></h3><h3>cos∠A = AH/AB = 175/625 = 7/25</h3><h3>Данный прямоугольный треугольник АВН подобен прямоугольному треугольнику с катетами 24 и 7 и гипотенузой 25 ⇒ tg∠A = 24/7</h3><h3>Пусть ∠НАО = α , тогда ∠А = 2α</h3><h3>Используем тригонометрическую формулу:</h3><h3>tg2α = 2tgα/ ( 1 - tg²α )</h3><h3>24/7 = 2tgα / ( 1 - tg²α )</h3><h3>24 - 24tg²α = 14tgα</h3><h3>12tg²α + 7tgα - 12 = 0</h3><h3>Пусть tgα = t , тогда</h3><h3>12t²+ 7t - 12 = 0</h3><h3>D = 7² - 4•12•(-12) = 49 + 576 = 625 = 25²</h3><h3>t₁ = ( - 7 - 25 )/24 = - 32/24 = - 4/3 - не подходит, так как ∠А - острый</h3><h3>t₂ = ( - 7 + 25 )/24 = 18/24 = 3/4</h3><h3>Отсюда tga = 3/4</h3><h3>Рассмотрим ΔАОН:</h3><h3>tgα = OH/AH = 3/4</h3><h3>OH = AH • 3 / 4 = 175 • 3 / 4 = 525/4 = 131,25</h3><h3><u><em>ОТВЕТ: 131,25</em></u></h3><h3><u><em /></u></h3>
0
0