с
Треугольники ABC и DEF вписаны в одну и ту же окружность. Доказать, что равенство их периметров равносильно условию sin A + sin B + sin C = sin D + sin E + sin F.
<em>Доказательство.</em>
Рассмотрим треугольник ABC. Согласно теореме синусов
AB/sin C = BC/sin A = AC/sin B = 2R или
sin C/AB = sin A/BC = sin B/AC = 1/(2R).
sin C = AB/(2R); sin A = BC/(2R); sin B = AC/(2R).
sin A + sin B + sin C = (BC + AC + AB) / (2R) = P1/(2R).
sin A + sin B + sin C = P1/(2R), где P1 – периметр треугольника ABC.
Аналогично, из треугольника DFE имеем:
sin D + sin E + sin F = (EF + DF + DE) / (2R) = P2/(2R), где P2 – периметр треугольника DFE .
Легко видеть, что если P1 = P2, то sin A + sin B + sin C = sin D + sin E + sin F и наоборот.
Задача 2.
Найдем длину окружности колеса
219,8 м=21980см
L=21980÷50=439.6 см
L=2πr
r=L/2π
r=439,6/2π=70
d=2r=140 см
Углы при основаниях треугольников MBT, PTC, ABC равны как соответственные при параллельных прямых MT и AC. Треугольники подобны, их площади относятся как квадрат коэффициента подобия.
S1/S2= (MT/PC)^2
S(ABC)/S2= (AC/PC)^2
AMТР - параллелограмм, AP=MT
AC=AP+PC=MT+PC
S(ABC)/S2= ((MT+PC)/PC)^2 = (1 +MT/PC)^2 = 1 +2MT/PC +(MT/PC)^2 <=>
S(ABC)/S2= 1 +2√(S1/S2) +S1/S2 <=>
S(ABC)= S1 +S2 +2√(S1*S2)
S(AMТР)= S-S1-S2 =2√(S1*S2)
Формула площади S=(1/2)*a*b*SinC (a=5,b=8) Отсюда SinC =16/20 = 0,8. Угол тупой, значит это ≈126,7 градусов.(можно, конечно, точнее)
Квадрат стороны тр-ка равен: с² = а²+в² -2*а*в*CosC.(по теореме косинусов)
В нашем случае с² = 89 - 80*Cos126,7° = 89 - 80*(- 0,6) = 89+47,8=136,8
Тогда искомая сторона АВ =с = 11,69см
АД=10. Решение см. на фото