№9. Дано: Прямоугольный треугольник ABC; H принадлежит BC; D принадлежит AB; BD = BH; HC = DA; HF перпендикулярно BC; DE перпендикулярно AB; Доказать: AE = FC и AF = CE. ----- Доказательство: Треугольник ABC - равнобедренный, т.к. AB = AD+DB и BC = BH+HC, а AD = HC и BD = BH, значит, AB = BC. Так как треугольник ABC - равнобедренный и прямоугольный, то угол С равен углу А равен 45°. Треугольник ADE равен треугольнику HFC по стороне и двум прилежащим к ней углам (DA=HC, угол H = углу D и угол A равен углу С). Значит, AE = CF - как соответственные элементы равных треугольников. Пусть пересечение HF и DE - N. Т.к. угол В - прямой и BD = BH, то BHND - квадрат, значит, BH = HN = DN = DB. Т.к. HN = DN, то HF-HN = DE-DN, т.к. HF = DE, как соответственные элементы равных треугольников ADE и HCF. Значит, NE = NF, отсюда имеем: AE-EF = CF-EF, т.к. AE = CF. Значит, AF = CE, что и требовалось доказать.
№10. Дано: ABCD - равнобедренная трапеция с основаниями AD(большее) и BC; BF и CE - высоты. BC параллельно AD; Доказать: AF = DE. ----- Доказательство: Т.к. ABCD - трапеция, то BC параллельно AD, а значит, BF = EC (при пересечении двух параллельных друг другу прямых двумя другими параллельными друг другу прямыми, отрезки заключённые между точками пересечения будут равны у соответственно параллельных прямых. Иначе говоря, получится параллелограмм, у которого противоположные стороны равны и параллельны). Т.к. ABCD - равнобедренная трапеция, то угол A = углу D. В треугольнике ABF: угол ABF = 180°-90°-угол А. В треугольнике ECD: угол ECD = 180°-90°-угол D. А т.к. угол D равен углу A, то угол ABF = углу ECD. Треугольник ABF = треугольнику ECD по стороне и двум прилежащим к ней углам (BF=CE, угол F = углу Е и угол В равен углу С). Отсюда, AF = DE, как соответственные элементы равных треугольников, что и требовалось доказать.
№11. Дано: Треугольник ADC - равнобедренный; DB - биссектриса; Угол А = углу С = 70°; Доказать: АВ = ВС. ----- Доказательство: Угол ADB = углу BDC, т.к. DBC - биссектриса. Биссектриса в равнобедренном треугольнике также является медианой и высотой, значит, угол DBA = углу DBC и AB = BC, что и требовалось доказать.
№12. Дано: ABCD - параллелограмм; AC - диагональ; BF перпендикулярно AC и DE перпендикулярно AC; AB = CD. Доказать: BF = ED. ----- Доказательство: Т.к. AB параллельно CD, то угол BAС равен углу ACD - как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей AC. В треугольнике ABF: Угол AВF = 180°-90°-угол BCА, угол CDE =180°-90°-угол ACD. т.к. угол ABF = углу ACD, то угол ABF = углу CDE. Треугольник ABF = треугольнику CDE - по стороне и двум прилежащим к ней углам (AB=CD, угол ACD = углу CAB и угол ABF = углу CDE). BF = ED - как соответственные элементы равных треугольников, что и требовалось доказать.
№13. Дано: Угол В = 30°; ВА = 4 см; AH - высота к прямой а; Угол H = 90°; АН - ? ----- Решение: Известно, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Т.к. BA равна 4 см, а AH = 1/2 BA, то AH = 2 см. Ответ: 2 сантиметра.
№14. Дано: Треугольник MAK; MK = 14 см; Угол MAK равен углу MKA, равен 45°; АН - высота; АН - ? ----- Решение: В треугольниках MHA и AHK: Угол AHK = углу AHM = 90°; Угол NAK = 180°-90°-45° = углу HAM = 180°-90°-45° = 45°. Треугольники MHA и HKA - равнобедренные, значит, MH = HK = 1/2 MK = 7 см. Т.к. треугольники равнобедренные с основаниями AK и MA, то HA = HK = HM = 7 см. Ответ: 7 сантиметров.
№15. Дано: Треугольник AMK; Угол М = 30°; Угол К = 60°; АН - высота; AH - ? ----- Решение: Угол А = 180°-60°-30° = 90°. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30° равен 1/2 гипотенузы. Значит, AH = 1/2 MA. Выразить числом AH никак, т.к. ни одна сторона неизвестна, а значит, длина может быть любой.
№16. Дано: Треугольник MNK; NK принадлежит прямой а; Треугольник NKA; Угол М = 60°; Угол ANM = 30°; NM = MK; AK = 7 см; АН - высота; АН - ? ----- Решение: Т.к. в треугольнике MNK - MN = MK, то он - равнобедренный, с основанием NK. Значит, угол N = углу К = (180°-60°)/2 = 60°, значит, треугольник MNK - равносторонний, поэтому NK = MK = MN. Т.к. угол AMN = 30°, а угол NKM = 60°, то угол ANK = 60°-30° = 30° = углу AKN. Треугольник ANK - равнобедренный, т.к. углы при основании равны. Значит, AH также будет являться медианой и биссектрисой. В прямоугольном треугольнике NAH: Катет, лежащий против угла в 30<span>° равен 1/2 гипотенузы. AH = 1/2 AN, а т.к. треугольник NKA равнобедренный, то NA = KA = 7 см, то AH = 3.5 см. Ответ: 3.5 см</span>
<АЕВ=180-135=45. <АЕВ=<ЕАВ, следовательно,треугольник ЕВА равнобедр.,значит,АВ=ЕВ=70 Проведем высоту ЕН.ЕВ=НА=70,значит,НД=94-70=24. НД=ЕС=24 Найдем ЕД по т. Пифагора ЕД равен под корнем СД^2+ЕC^2 ЕД=74
Пусть СВ=х; тогда АС=х+2; это катеты; по т.Пифогора x^2+(x+2)^2=AB^2, x^2+x^2+4x+4=100, 2x^2+4x-96=0, x^2+2x-48=0, D=(b/2)^2-ac=1+48=49, x1=-1-7<0 - посторонний корень, х2=-1+7=6 - катет ВС, 6+2=8 - катет АС; АВ - диаметр, т.к. вписанный прямой угол С может опираться только на диаметр; значит R=10/2=5 - это радиус окружности, описанной около тр-ка АВС.