В тр-ке АОВ ОA=ОВ=r
значит, тр-ник АОВ – равносторонний, тогда угол О = 60°
в тр-ке СОD ОC=ОD=r
значит, тр-ник CОD – равносторонний, тогда угол О = 60°
Δ AOB= Δ COD ( по 2 стор. и углу м/у ними), т.к.
1) ОА=ОС (как радиусы)
2) ОВ=ОD (как радиусы)
3) ∠AOB = ∠ COD = 60° Чтд.
Сделаем рисунок.
Способ 1)
Окружность О <u>касается катета ВС</u>,
вершина А противоположного катету ВС угла лежит на окружности.
Центр О принадлежит гипотенузе АВ.
Пусть окружность пересекает гипотенузу в точке К
и касается катета ВС в точке Н.
Дополним треугольник АВС до квадрата АСВД.
Окружность О вписана в угол СВД,
<u>ОМ=ВН= радиус</u>
АВ=10√2 см - как диагональ квадрата со стороной 10 см
В - точка, из которой проведены к окружности касательная ВН и секущая ВА.
<em> Для любых секущей и касательной, проведенных из произвольной точки вне окружности, произведение длины секущей на ее внешнюю часть равно квадрату длины касательной</em>.
Пусть КВ=х
Тогда АК=АВ-х=10√2-х
АО=ОК=АК:2=(10√2-х):2
НВ=АО=ОМ=(10√2-х):2
НВ²=ВК*АВ
(10√2-х)²:4=10х√2
200-20х√2+х²=40х√2
х²-60х√2+200=0
D=b² - 4ac
D=(-60√2)²-4*200=6400
х=(60√2-80):2=30√2-40 (второй корень не подходит по величине)
НВ²=(30√2-40)*10√2=600-400√2=≈34,314575
НВ=√(34,314575)=5,85786=<span>≈5,86см
</span><span>Ответ: Радиус равен приблизительно <span>5,86 см
---------------------
</span>Способ 2)
Рисунок тот же.
</span><span>. Гипотенуза <em>АВ=10√2 </em>
Пусть радиус АО окружности будет r.
ОН=НВ=r
Тогда ОВ=r√2
Но ОВ=АВ-АО=10√2 -r
10√2 -r= r√2
10√2 = r√2+r
10√2 = r(√2+1)
<em>r=10√2:(√2+1)</em>
<u>Домножим</u> числитель и знаменатель дроби <u>на (√2-1)</u> и получим по формуле сокращенного умножения в знаменателе </span>(2-1)=1<span>
r=(√2-1)*10√2:1=(√2-1)*10√2
r=20-10√2=10(2-√2)
<span>r= 10(2-√2)=10*0,585796=≈5,86см</span></span>
Правильный тетраэдр - треугольная пирамида, все 4 грани которой равные равносторонние треугольники.
Правильный икосаэдр - двадцатигранник, все грани которого равные равносторонние треугольники.
Ребро тетраэдра - сторона равностороннего треугольника: b = 5√5
Площадь равностороннего треугольника
Площадь полной поверхности правильного тетраэдра
Площадь полной поверхности правильного тетраэдра и площадь полной поверхности правильного икосаэдра по условию равны.
Правильный икосаэдр имеет 20 граней. Площадь одной грани
Площадь равностороннего треугольника со стороной c:
Ответ: ребро икосаэдра равно 5