<em>Высота основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а двугранный угол при стороне основания равен 45 градусов. <u>Найти</u><u> площадь поверхности пирамиды и расстояние от вершины основания до противоположной боковой грани.</u></em>
Сделаем рисунок.
Основание высоты правильной треугольной пирамиды - точка пересечения высот основания, или. иначе, центр вписанной в правильный треугольник окружности. Площадь поверхности пирамиды равна сумме площадей ее основания и трех боковых граней. Площадь основания правильного треугольника находят по формуле
<span><em>S=(a²√3):4
</em></span>Боковые грани правильной пирамиды - равнобедренные треугольники.
Площадь боковой грани - половина произведение ее высоты на сторону основания.
<em>S грани=аh:2</em>
Двугранный угол при стороне основания равен линейному углу между апофемой МН и высотой АН основания.
АВ=ВС=АС=АН:sin (60º)=6:[(√3):2]=4√3
<span>S осн=(4√3)²√3):4=(16*3*√3):4=12√3 см²
</span><span><span>Апофема МН, как гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника МОН, </span>равна ОН√2
</span>ОН=АН:3=2 см
<span>МН=2√2
</span><span>Sбок= 3*МН*ВС:2=(3*2√2)*4√3):2
</span>Sбок=12√6
<span>S полн=S осн+Sбок=12√3 см²+12√6=12√3(1+√2)=≈50,178 см²
</span>Вернемся к рисунку.
<span><span>Расстояние от вершины основания до противоположной боковой грани -перпендикуляр от вершины, проведенный к плоскости боковой грани.
Ясно, что расстояния от любой вершины осноания до противоположной ей грани равны. </span>Найдем расстояние от вершины В до плоскости грани АМС.
ЕМ - высота треугольника АМС.
Искомым расстоянием будет перпендикуляр ВК к проекции высоты ВЕ основания на плоскость АМС, т.е. к прямой ЕМ.
</span>Так как двугранный угол у основания равен 45º, то треугольник ЕКВ - прямоугольный и равнобедренный.
<span>Искомое расстояние
КВ=ВЕ*sin(45º )=6√2):2=3√2 см</span>
Докажем подобие тре-ков
АВ:МК=4:8=1/2
ВС:KN=7:14=1/2
АС:MN=6:12=1/2
тре-ки подобны по 3 сторонам
∠А=∠K=80°, ∠B=∠N=60°, ∠М=180-(60+80)=40°
Cумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°.
Пусть один 5х, другой 13х, тогда отношение 5х:13х=5:13
5х+13х=180
18х=180
х=180:18
х=10
5·10=50 градусов - меньший угол
13·10 = 130 градусов - больший угол
<span>Определение дуги окружности
Понятно, что центр окружности не принадлежит окружности.
</span>