Вписанный угол равен половине соответственного ему центрального угла, опирающегося на ту же дугу, значит ∠ВОМ=2∠ВАМ.
Треугольник ВОМ равнобедренный, ВО=МО, значит ∠ОВМ=(180-∠ВОМ)/2=(180-2∠ВАМ)/2=90°-∠ВАМ.
Касательная и радиус, проведённый к точке касания, перпендикулярны. ОВ⊥ВК, значит ∠MBK=90-∠ОВМ=90-(90-∠ВАМ)=∠ВАМ.
Доказано.
PS Угол между касательной и секущей, проведённой через точку касания, является вырожденным случаем вписанного угла, значит угол MBK равен любому вписанному углу, опирающемуся на дугу ВМ. Это нужно запомнить и использовать дальше в решениях задач без обязательного доказательства.
Пусть а ребро пирамиды.
Диагональ основания √2а
Половина диагонали √2а/2
Высота = а√(1-2/4)=√2а/2
Пусть А- начало координат.
Ось X - AB
Ось У - АD
Ось Z - вверх
Вектор МD ( -a/2; a/2; -√2a/2)
Вектор АР ( 3а/4 ; 3а/4 ; √2а/4)
Косинус угла между МD и АР
cos a = | -3/8+3/8 -2/8|/ 1 / √(9/16+9/16+2/16)=√5/10