Пусть АВ-перпендикуляр плоскости, АС-наклонная и С-прямая в плоскости, проходящая через основание С. Проведём прямую СА1, параллельную прямой АВ. Она перпендикулярна плоскости. Проведём через прямые АВ и СА1 плоскость. Прямая С перпендикулярна прямой СА1. Если она перпендикулярна прямой СВ, то она перпендикулярна плоскости, а значит, и прямой АС. Значит, если прямая С перпендикулярна наклонной АС то она, будучи перпендикулярна и прямой СА1 перпендикулярна плоскости, а значит и проекции наклонной СВ. Теорема доказана)
Найдем высоту через площади. Запишем два способа нахождения площади треугольника. Стандартный для всех треугольников:
В этой формуле нужно умножать высоту на сторону, к которой она относится, но т.к. у нас равносторонний треугольник, нам это не важно.
Площадь для равностороннего треугольника:
Сравниваем площади и находим высоту BO:
Ответ: h=6√3.
1 п. Если противоположные стороны четырёхугольника равны, то этот четырёхугольник является параллелограммом.
Нам надо, чтобы векторAB=векторDC и векторAD=векторBC
2 п. векторAB={1-2;0-1;7-3}={-1;-1;4}
векторDC={-2-(-1);1-2;5-1}={-1;-1;4}
Координаты равны => длины векторов также будут равны
3 п. векторAD={-1-2;2-1;1-3}={-3;1;-2}
векторBC={-2-1;1-0;5-7}={-3;1;-2}
Координаты равны => длины векторов также будут равны
Из 1 п., 2. п. и 3 п. следует, что ABCD - параллелограмм
AB-расстояние между точками (корень из 101)
AB=((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)под корнем
если возвести в квадрат то получится
101=(4-x)^2+(x+7)^2
16-8x+x^2+x^2+14x+49=101
2x^2+6x-36=0 делим всё на два
x^2+3x-18=0
по теореме виета
x1+x2=-3
x1*x2=-18
x1=-6 x2=3
ответ x=-6 x=3
Получили прямоугольный треугольник, одним катетом АС которого является перпендикуляр, а наклонная АВ является гипотенузой, проекция на плоскость ВС - это второй катет. Ищем его по теореме Пифогора.
√(81-36)=√45см
Получили треугольник АВС, в котором АС=6см, АВ=9см, ВС=√45см
Из вершины прямого угла С проводим перпендикуляр СН на гипотенузу АВ. АН - это и есть проекция перпендикуляра АС на наклонную АВ. Можно решать через подобие полученных треугольников, но лучше по теореме Пифагора.
Пусть ВН=х, тогда АН=9-х
Из треуг. АНС: CH^2=36-(9-x)^2
Из треуг. СНВ: CH^2=45-x^2
Приравниваем:
36-(9-x)^2=45-x^2
36-81+18х-x^2==45-x^2
18x=90
x=5
CH=√(45-25)=√20=2√5см