Обозначим трапецию АВСД, по условию диагонали АС=ВД=12. Треугольники ВОС и АОД подобны по трём углам( два при основании как накрест лежащие и вертикальные при вершине).Тогда ВС/АД=ОС/АО=1/2. Тогда АС=АО+АО/2=12. Отсюда АО=8. Тогда искомое расстояние АМ=корень из(АО квадрат+ОМ квадрат)=корень из(8 квадрат+15 квадрат)=17.
Для начала найдем высоту пирамиды.
Нарисуем <u>диагональное сечение пирамиды.</u>
<u />
Это <em><u>равнобедренная трапеция АА₁С₁С</u></em>, основаниями которой являются
диагонали АС и А₁С₁ оснований пирамиды.
Найдем эти диагонали - меньшего и большего квадратов оснований по формуле
d=а√2
А₁С₁=5√2 -<u> меньшее</u> основание трапеции ( сечения)
АС=11√2 -<u>большее</u> основание
Боковыми сторонами являются АА₁=СС₁=15.
<u>Опустим из А₁ высоту А₁Н</u> на большее основание.
Отрезок<em><u> АН равен полуразности оснований</u></em> равнобедренной трапеции
АН=(11√2-5√2):2=3√2
Из прямоугольного треугольника АА₁Н найдем высоту трапеции ( она же и высота пирамиды) А₁Н
А₁Н=√{15²-(3√2)²}=√(225-18)=√207=3√23 - найдена <em>высота усеченной пирамиды</em>.
---------------------------------------------
Для нахождения площади боковой поверхности, каждая грань которой также является равнобедренной трапецией, <u>нужно найти высоту</u> этой трапеции.
Ход решения будет таким же, как при нахождении высоты пирамиды.
Опустим высоту А₁Н₁ из А₁ на АD
Полуразность оснований равна
АН₁= (11-5):2=3
Из прямоугольного треугольника АА₁Н₁ найдем <u>высоту боковой грани</u>:
А₁Н₁=√(225-9)=√216=6√6
S АА₁D₁D=А₁Н₁·(А₁D₁+AD):2
S грани=6√6(11+5):2=48√6
Площадь боковой поверхности равна площа·ди четырех граней:
S бок=4·48√6=192√6
<u><em>Площадь полной поверхности равна сумме площадей оснований и площади боковой поверхности.</em></u>
Площадь меньшего основания
S₁=5²=25
Площадь большего основания
S₂=11²=121
Площадь полной поверхности усеченной пирамиды
S полн=25+121+192√6 или ≈ 616,3
-------------------------------------------
<em>Объем усеченной пирамиды равен:</em>
<em> одной трети произведения высоты h (А₁Н) на сумму площадей верхнего основания усеченной пирамиды S1, нижнего основания S2 и средней пропорциональной между ними.</em>
<em />
V=1/3ꔷh(S₁+√(S₁ S₂)+ S2)
S₁=5²=25
S₂=11²=121
V=1/3·3√23{25+√(25·121)+ 121} =
=√23·(25+275+ 121)=421·√23
или иначе V ≈ 2019
Задача имеет два решения, так как внешним может быть угол смежный с углом основания и тогда решение будет следующим: Если в ΔАВС основание АС, то ∠А=180°-130=50° ∠А=∠С(углы при основании равнобедренного треугольника) ∠В=180-(50+50)=80°
Если внешний угол с углом при вершине, то тогда ∠В=180°-130°=50°
∠А=∠С=(180-50):2=65°
Треугольники MAN и ABC подобны по двум углам. Коэффициент подобия - отношение соответственных сторон, то есть k=AN/ВC или k=12/14=6/7. Тогда MN=21*k или MN=21*6/7=18 ед.
Ответ: MN=18 ед.