<em>Высоты АА1 и СС1 остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Е. <u>Докажите что углы CC1A1 и СAA1 равны. </u></em>
Способ 1)
Доказательство через вписанные углы в описанной окружности.
Т.к. в <em><u>прямоугольных</u></em> треугольниках АС1С и АА1С общая гипотенуза, то вокруг них можно описать общую окружность. В ней вписанные углы CC1A1 и СAA1 опираются на дугу, стягиваемую общей для них хордой. <em>Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны</em>, что и требовалось доказать.
Способ 2)
∆ АЕС1 и ∆ СЕА1 - прямоугольные и имеют равные вертикальные углы при Е. - <em>Если прямоугольные треугольники имеют равный острый угол, то такие треугольники подобны.</em>
<em>
</em>
<span>Отношения катетов, противолежащих равным углам подобных треугольников, к гипотенузе - равны ( это отношение - <em>синусы равных углов).</em></span><em>⇒</em>
ЕС1:ЕА=ЕА1:ЕС.
Рассмотрим ∆ ЕАС и ∆ ЕА1С1. Они имеют равные вертикальные углы при Е, а их стороны. содержащие равные углы, пропорциональны.
<span><em>Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны. то такие треугольники подобны</em>. </span>
<span>Следовательно, ∆ЕАС и ∆ ЕА1С1 подобны. </span>
<span>Углы ЕАС и ЕС1А1 лежат напротив сходственных сторон, следовательно, равны, ч.т.д</span>