<span>Опустим из точки O перпендикуляры <span>OK</span> и <span>OL</span> на катеты <span>BC</span> и <span>AC</span>. Из подобия треугольников следует, что <span>DL:LC=5:9</span>; положим <span>DL=5y</span>, <span>LC=9y</span>. Далее, полагая <span>BM=MC=7x</span> и используя тот факт, что <span>BK:KC=9:5</span>, приходим к равенствам <span>MK=2x</span>, <span>KC=5x</span>. Теоема Пифагора, применённая к треугольнику <span>BCD</span>, влечёт равенство <span><span>x2</span>+<span>y2</span>=1</span>. При этом тангенс угла <span>DBC</span> будет равен <span>y/x</span>, а потому тангенс удвоенного угла <span>ABC</span> равняется</span><span><span><span>2<span>yx</span></span><span>1−<span><span>y2</span><span>x2</span></span></span></span>=<span><span>2xy</span><span><span>x2</span>−<span>y2</span></span></span>.</span><span>Теперь рассмотрим подобные треугольники <span>OMK</span> и <span>AMC</span>, откуда отношение <span>OK:AC</span> равно <span>MK:MC=2:7</span>. Ввиду того, что <span>OK=LC=9y</span>, находим <span>AC=63y/2</span>. Это значит, что тангенс угла <span>ABC</span> равен <span>AC:BC=<span><span>9y</span><span>4x</span></span></span>. Приравнивая два выражения для тангенса одного и того же угла, мы после упрощений приходим к уравнению <span><span>x2</span>=9<span>y2</span></span>, после чего x и y легко находятся. Расстояние от O до гипотенузы равно расстоянию от O до катета <span>BC</span>, что составляет <span>OK=LC=9y</span>.</span>
Решение Вашего задания во вложении
Вписать в четырехугольник (трапецию) можно при условии: сумма противоположных сторон равны. Поскольку трапеция прямоугольная, значит боковая сторона, образующая с основаниями прямой угол = 2R=12. Обозначим другую боковую сторону через y. Если проведем высоту к большему основанию, получим прямоугольник со сторонами 6 и 10. Теперь нужно составить уравнение, чтобы найти разницу между основаниями, обозначим это значение через х. Тогда получим уравнение: 12+у=10+(10+х) Отсюда выразим х=у-8. В прямоугольном треугольник у-гипотенуза, х - катет, другой катет=12. По теореме Пифагора, находим у^2-(x-8)^2=12^2. Раскроем скобки, приведем подобные, получим 16у=208, у=13. Отсюда х=5. Значит большая сторона = 15. По формуле площади трапеции: S=(10+15)/2*12 S=25*6=150
Из ΔАВС ∠АВС=180-22-50=108. ∠АВС и ∠СВD смежные, значит ∠СВD=180-108=72 (или можно было посчитать ∠СВD как внешний угол ΔАВС при вершине В). В ΔСВD стороны СВ=ВD, значит он равнобедренный и углы при основании равны ∠ВСD=∠ВDС=(180-72)/2=54 градуса.
Ответ: 54 градуса
Точка пересечения высот, биссектрис и медиан правильного
треугольника делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершин.
⟹ OH = 1, BH = 3.