Так как <span>четырехугольник ABCD вписан в окружность, а диагонали AC и BC перпендикулярны, то эти диагонали делят заданный четырёхугольник на 4 прямоугольных треугольника.
Эти треугольники попарно подобны (по вертикальным углам при пересечении диагоналей) по равенству двух вписанных углов, опирающихся на равные дуги.
Обозначим точку пересечения диагоналей Е, центр описанной около четырёхугольника окружности О.
Из подобия треугольников АВЕ и ДЕС следует АЕ:ЕД = 3:4.
Примем коэффициент подобия у.
Тогда 8</span>² = (3у)² + (4у)²,
9у² + 16у² = 64,
25у² = 64,
у = √(64/25) = 8/5.
Получаем: АЕ = 3х = 24/5 = 4,8.
ДЕ = 4х = 32/5 = 6,4.
Угол АВД как вписанный равен (1/2) центрального угла АОД.
Синус <span> (1/2) центрального угла АОД равен (8/2)/(17/2) = 4/8,5 = </span><span>
0,470588. Угол АBД равен </span><span><span><span>
0,489957 радиан или </span>28,07249</span></span>°.
Косинус угла ЕАД = 4,8/8 = <span><span><span>
0,6.
</span><span>Угол ЕАД = 0,927295 радиан или
</span>
53,1301</span></span>°.
Угол АДЕ = 90° - <span>
53,1301 = </span><span>
36,8699</span>°.
По теореме синусов находим АB = AD*sin АДЕ / sin <span>АBД =
= 8*0,6/</span><span><span>0.470588 = 10,2.
Сторона ДС по заданию равна (4/3) АВ = (4/3)*10,2 = 13,6.
ВЕ = </span></span>√10,2²-4,8²) = √(<span>
104.04 -</span><span>
23.04) = </span>√81 = 9.
СЕ = √(13,6²-6,4²) = √(<span>
184.96 -
<span>40.96) = </span></span>√144 = 12.
ВС = √(9²+12²) = √(81+144) = √= 15.
Сторона квадрата = 4 см.
Найдем площадь квадрата:
S=a·a
S=4·4=16 см²
Найдем ширину прямоугольника:
S=a·b, отсюда b=S:a
b=16:2=8 см
Рассмотрим треугольник ABC и треугольник MBK. Во-первых AB/MB=2/1. Во-вторых CB/KB как 2/1. т.е. коэффициенты подобия равны. И в третьих угол B общий. Благодаря утверждениям выше мы можем утверждать, что эти два треугольника подобные. Коэффициент подобия равен 2. А мы знаем, что Pabc/Pmbk=k. Подставляем сюда, что знаем: x/22=2/1. произведение средних членов равно произведению крайних. Отсюда x=44 см.
Ответ: Pabc= 44 см..
Билет 25
1) угол AОC=90°,т.к. СО-высота
2угол DOC=45°, т.к. DO-биссек. угла АОС
3)угол СОЕ=угол СОВ - угол ЕВО
угол СОЕ= 90°-30°=60°
4)угол DOE= угол DOC + угол СОЕ
угол DOE= 45°+60°=105°