Вы правильно представляете себе механизм образования тяжёлых элементов.
Да, при Большом взрыве поначалу образовались только самые лёгкие ядра - водород и гелий.
"Почему образовались ядра" - ну "патаму што у них судба такой". Как только Вселенная чуток расширилась и её температура соответственно чуток снизилась, кварки получили возможность слиться в адроны - в протоны и нейтроны. В самые первые мгновения после Большого Взрыва средняя энергия теплового движения первичной материи была ещё слишком большой, чтоб даже такие совсем простые частицы оставались стабильными.
Это и были первые ядра, хотя до образования нейтральных атомов понадобилось ещё 380 тысяч лет - Вселенная должны была остыть.
Все остальные элементы образовались уже сильно после, в процессе эволюции звёзд. Да, чтобы получить ядра тяжелее гелия, да даже и само ядро гелия из четырёх ядер водорода, эти ядра нужно сжать. Подходящие условия создаются в недрах звёзд. Лишь при температурах в десятки миллионов градусов тепловая энергия отдельных протонов становится достаточной для преодоления кулоновского барьера, и они сближаются на расстояние, при котором в дело вступает сильное взаимодействие. Оно-то и склеивает протоны и нейтроны в единое тяжёлое ядро.
В искусственных условиях принцип синтеза новых ядер из "старых" примерно тот же: сообщить им большую энергию. Это достигается либо так же, как в звёздах (водородная бомба или термоядерный реактор), либо на ускорителях, где частицы разгоняются не повышением температуры вещества, а электрическим полем. Энергия, которую они при этом приобретают, тоже эквивалентна температуре в десятки и даже сотни миилионов градусов, так что преодолеть кулоновский барьер оказывается возможным даже для тяжёлых ядер.
В промышленност итакой нуклеосинтез применяется для получения нестабильных радиоактивных изотопов, которые нужны в самых разных областях, от медицины до дефектоскопии и даже для противопожарной техники: обычные бытовые датчики дыма содержат америций-241 или, иногда, плутоний-239. Ну и сам плутоний, которого для ядерных арсеналов наработано уже немерено тонн, - это ж тоже искусственно полученный элемент.