<span>
Первый признак. </span>Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство. Рассмотрим треугольники АВС и
угол A равен углу А1, АВ равно А1В1, АС равно А1С1. Докажем, что треугольники равны. Наложим треугольник ABC на треугольник A1B1C1 так, чтобы угол A совместился с углом A1. Так как АВ=А1В1, а АС=А1С1, то B совпадёт с В1, а C совпадёт с С1.Значит, треугольник А1В1С1 <span>совпадает с треугольником АВС, а следовательно, равен треугольнику АВС.
<span>
</span>
Второй признак. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащих к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство. </span>Рассмотрим треугольники АВС и А1В1С1, у которых АВ равно А1В1, угол А равен углу А1, и угол В равен углу В1. Наложим треугольник ABC на треугольник A1B1C1 так, чтобы AB совпало с A1B1. Так как ∠ВАС =∠В1А1С1 и ∠АВС=∠А1В1С1, то луч АС совпадёт с А1С1, а ВС совпадёт с В1С1. Отсюда следует, что вершина C совпадёт с С1. Значит, треугольник А1В1С1 <span>совпадает с треугольником АВС, а следовательно, равен треугольнику АВС.
</span>
Третий признак. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и AlBlC1, у которых АВ=А1В1, BC = BlC1 СА=С1А1. Докажем, что ΔАВС =ΔA1B1C1. <span>Приложим треугольник ABC</span><span> </span><span>(либо симметричный ему)</span><span> </span><span>к треугольнику A</span><span>1</span><span>B</span><span>1</span><span>C</span><span>1</span><span> </span><span>так, чтобы вершина А совместилась с вершиной A</span><span>1</span><span>, вершина В — с вершиной В</span><span>1</span><span>, а вершины С и С</span><span>1</span><span>, оказались по разные стороны от прямой А</span><span>1</span><span>В</span><span>1. Рассмотрим 3 случая:
</span><span>1) Луч С</span><span>1</span><span>С проходит внутри угла А</span><span>1</span><span>С</span><span>1</span><span>В</span><span>1</span><span>. Так как по условию теоремы стороны АС и A</span><span>1</span><span>C</span><span>1</span><span>, ВС и В</span><span>1</span><span>С</span><span>1</span><span> </span><span>равны, то треугольники A</span><span>1</span><span>C</span><span>1</span><span>C и В</span><span>1</span><span>С</span><span>1</span><span>С — равнобедренные. По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, поэтому ∠ACB=∠A</span><span>1</span><span>C</span><span>1</span><span>B</span><span>1. </span>
<span>2) Луч С</span><span>1</span><span>С совпадает с одной из сторон этого угла. A лежит на CC</span><span>1</span><span>. AC=A</span><span>1</span><span>C</span><span>1</span><span>, BC=B</span><span>1</span><span>C</span><span>1</span><span>, ∆C</span><span>1</span><span>BC – равнобедренный, ∠ACB=∠A</span><span>1</span><span>C</span><span>1</span><span>B</span><span>1. </span>
<span>3) Луч C</span><span>1</span><span>C проходит вне угла А</span><span>1</span><span>С</span><span>1</span><span>В</span><span>1</span><span>. AC=A</span><span>1</span><span>C</span><span>1</span><span>, BC=B</span><span>1</span><span>C</span><span>1</span><span>, значит, ∠1 = ∠2, ∠1+∠3 = ∠2+∠4, ∠ACB=∠A</span><span>1</span><span>C</span><span>1</span><span>B</span><span>1. </span><span>Итак, AC=A</span><span>1</span><span>C</span><span>1</span><span>, BC=B</span><span>1</span><span>C</span><span>1</span><span>, ∠C=∠C</span><span>1</span><span>. Следовательно, треугольники ABC и A</span><span>1</span><span>B</span><span>1</span><span>C</span><span>1</span><span> </span><span>равны по </span><span>первому признаку равенства треугольников. </span>