В параллелограмме abcd биссектрисы углов abc и bcd пересекают основание ad в точках l и k соответственно. Известно, что ad=3/2 ab, bl=8, ck=12. <u>Найдите площадь параллелограмма.
</u>--------------
<span><span><em>Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°</em>.</span><span>
Следовательно, биссектрисы этих углов пересекутся под углом 90°
</span>В параллелограмме противолежащие углы равны.
∠bad=∠bcd , следовательно, биссектрисы этих углов параллельны и равны. Проведем биссектрису am=ck=12
Биссектрисы bl и am пересекутся в точке О под прямым углом.
<span>Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник (доказать сумеете). </span>
ab=al
ab=bm
<span>am ⊥ bl ⇒ <u>параллелограмм abmk- ромб</u>.
</span><em>Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон</em>.
Так как стороны ромба равны, то
<span>4аb²=bl²+am²
</span><span>4аb²=8²+12²=64+144=208
</span><span>ab²=52
</span><span>ab=2√13 </span></span><span>ad=3/2 ab ⇒ </span><span><span>ad=(2√13)*3/2=3√13
</span>Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
S abml=8*12:2=48
<u>Высота</u> параллелограмма abcd является и высотой ромба abml, это отрезок hl, проведенный перпендикулярно стороне ромба.
S abmd=lh*bm
lh=S:bm
<span>lh=48: 2√13=24:√13
</span>Площадь параллелограмма равна произведению высоты и стороны, к которой она проведена.
S abcd=hl*ad
<span>S abcd=(24:√13)*3√13=72 (единиц площади)</span></span>
<span>1) х = корень (10*10 - 8*8) = 6 см </span>
Менелая
PK/KQ *QS/SN *NR/RP =1 <=> 2/3 *3/1 *NR/RP =1 <=> NR/RP= 1/2
PN/NR *RS/SK *KQ/QP =1 <=> 1/1 *RS/SK *3/5 =1 <=> RS/SK= 5/3
Чевы
PN/NR *RM/MQ *QK/KP =1 <=> 1/1 *RM/MQ *3/2 =1 <=> RM/MQ= 2/3
Менелая
QK/KP *PS/SM *MR/RQ =1 <=> 3/2 *PS/SM *2/5 =1 <=> PS/SM= 5/3
RS/SK *KL/LN *NP/PR =1 <=> 5/3 *KL/LN *1/2 =1 <=> KL/LN= 6/5
RN/NP *PL/LS *SK/KR =1 <=> 1/1 *PL/LS *3/8 =1 <=> PL/LS= 8/3
PL/PM =PL/PS *PS/PM =8/11 *5/8 =5/11
PL/LM= 5/6
Разумеется, после того, как установлено, что QN - медиана, можно сразу сказать, что
RM/MQ =PK/KQ =2/3 (PR||KM)
PL/ML =LN/LK (PLN~MLK)
PS/MS= SR/SK (PSR~MSK)
Для начала найдем отношение ВР/РС. Для этого:
Проведем BD параллельно АС. Тогда <PAC=<BDA, как накрест лежащие при параллельных прямых BD и AC и секущей АD.
∆АКМ ~ ∆BKD по двум углам (1).
∆АРС ~ ∆DРВ по двум углам (2).
Из (1) BD/AM=4 и BD=4AM = 2AC.
Из (2) BP/PC=2.
ВМ - медиана и по ее свойствам Sabm=Scbm.
Треугольники АВК и АКМ - треугольники с общей высотой к стороне ВМ. Значит Sabk/Sakm=4/1. => Sabk=Sabc*(1/2)*(4/5)=(2/5)*Sabc.
Sakm=Sabc*1/(2*5)=(1/10)*Sabc.
Треугольники ABP и APC - треугольники с общей высотой к стороне ВC.
Значит Sabp/Sapc=2/1. => Sapc=Sabc*1/3=(1/3)*Sabc.
Тогда Skpcm=Sapc-Sakm = (1/3)*Sabc-(1/10)*Sabc = (7/30)*Sabc.
Sabk/Skpcm=(2/5)/(7/30)=12/7.