Пусть ребро куба равно а
Диагональ равна а√3=6
а=2√3
Радиус внисаного шара равен а/2=√3
V=4/3п(а/2)^3=4/3*3^(3/2)п
в основании лежит квадрат, и есть только 2 неизвесных, пусть a - сторона основания, b - боковое ребро (высота). Тогда
2*a^2 + b^2 = 9^2;
2*a^2 + 4*a*b = 144; a^2 + 2*a*b = 72; вычитаем это из первого уранения, получаем
a^2 - 2*a*b + b^2 = 9; a - b = 3 (или -3, посмотрим потом) :))
b = a - 3; a^2 + 2*a*(a - 3) = 72; a^2 - 2*a - 24 = 0; a = 6; b = 3.
Если b - a = 3; то b = a + 3; a^2 + 2*a*(a + 3) = 72; a^2 + 2*a - 24 = 0; a = 4; b = 7;
Прямой проверкой легко установить, что оба решения подходят.
АВСД -параллелограмм: АВ=СД, ВС=АД.
Биссектриса ВК делит сторону АД на отрезки АК/КД=2/7, АК=2х, КД=7х.
АД=2х+7х=9х
Треугольник АВК -равнобедренный АВ=АК=2х, т.к. углы при основании <АВК=<АКВ.
Периметр Р=2(АВ+АД)
2х+9х=33/2
Х=1,5
АД=9*1,5=13,5
Cos A=V (1-sin2 A ) =V (1-9/25)=V=16/25=4/5
все грани этой пирамиды--прямоугольные треугольники))
ΔАВС--прямоугольный по условию;
ΔDAC и ΔDAB--прямоугольные, т.к. DA⊥(ABC)⇒DA перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости (АВС)
ΔDBC--прямоугольный по теореме о трех перпендикулярах:
первый перпендикуляр--это DA
второй перпендикуляр--это AС (по условию АС⊥ВС)
третий перпендикуляр--это DС... теорема о тех перпендикулярах:
если проекция (АС) ⊥ некоторой прямой (ВС), то и наклонная (DC) ⊥ этой прямой.⇒ DC ⊥ BC
все остальное по определению косинуса (8 класс)