AB и CD-два диаметра окружности с центром в точке 0. Луч OE-биссектриса угла AOC. OE пересекает окружность в точке K, причем KE=
AB и CD-два диаметра окружности с центром в точке 0. Луч OE-биссектриса угла AOC. OE пересекает окружность в точке K, причем KE=KO. Периметр треугольника KCO в 3 раза больше радиуса окружности. Докажите, что точки E,A,C и O лежат на одной окружности.
Так как периметр треугольника КОС в три раза больше радиуса, то Р=3R=КО+ОС+КС= R+R+КС, следовательно, КС=R, т.о. все стороны треугольника равны, следовательно, он равносторонний и его углы равны 60 градусам. вспомним определение вписанного четырехугольника в окружность - необходимо, что бы сумма противоположных углов равнялась 180 градусам. рассмотрим четырехугольник ЕАОС, он разбит на треугольники ЕАО и ЕСО. треугольник ЕСО: угол О=60 градусов. ЕО=2*СО, следовательно, ЕО-гипотенуза, ОС, катет, лежащий против угла в 30 градусов, следовательно, треугольник ЕСО-прямоугольный, угол С=90 градусов. рассмотрим треугольник ЕОА: угол ЕОА=углу ЕОС, т.к. ОЕ-биссектриса, следовательно, угол ЕОА=60 градусов, ЕО-гипотенуза, в два раза большая катета АО, следовательно, треугольник ЕОА-прямоугольный, угол А=90 градусов. в четырехугольнике ЕАОС углы А и С - противоположные, сумма их дает 180 градусов, следовательно, вокруг этого четырехугольника можно описать окружность
4. ВС=ВД+ДС, ВС=20, следовательно АВ=20. По теореме Пифагора находим высоту АД. 400-256=144. Высота АД=12. Теперь находим основание АС по теореме Пифагора. 144+16=160. АС = корень из 160=4 корень из 10.