На рисунке 8.10 AO = OB и DO = OC. Докажите равенство отрезок AD и BC
РЕШЕНИЕ:
• AO = OB - по условию
DO = OC - по условию
угол AOD = угол ВОС - как вертикальные углы
Значит, тр. AOD = тр. ВОС по двум сторонам и углу между ними
• В равных треугольниках соответственно равные элементы: стороны и углы => AD = BC , что и требовалось доказать
Проведем радиусы АС и BD в точки касания. Тогда они перпендикулярны касательным. Треугольники KAC и KBD подобны по двум углам (углы С и D прямые, угол К общий) . Тогда КА/КВ = АС/BD, т.е.
(x + 3)/(x+6+6)=1/2
2(x + 3)= x+12
x=6
KA = 6 + 3 = 9
KB = 6 + 6 + 6 = 18
По теореме синусов: sin C = sin 60°*(16/14) = (√3/2)*(8/7) = 4√3/7.
Находим cos C = √(1 - (4√3/7)²) = √((49 - 48)/49) = 1/7.
Сторона ВС = 16*cos B + 14*cos C = 16*(1/2) + 14*(1/7) = 8 + 2 = 10.
Площадь треугольника можно найти по формуле Герона:
S = √(20*(20-16)(20-14)(20-10)) = √(20*4*6*10) = 40√3 ≈ 69,282 кв.ед.
Здесь полупериметр р = (16+14+10)/2 = 40/2 = 20.