17)
BD=10 (BCD - египетский треугольник, множитель 2)
MB⊥AB, MB⊥BC => MB⊥(ABC) => MB⊥BD
MD=√(MB^2+BD^2) =√(24^2+10^2) =26
19)
AC=BC=MC=√96
ACB - равнобедренный прямоугольный, AB=AC√2 =√(96*2)
CK - медиана из прямого угла, CK=AB/2 =√(96/2) =√48
MC⊥AC, MC⊥BC => MC⊥(ABC) => MC⊥CK
MK=√(MC^2+CK^2) =√(96+48) =12
Перенесем прямую A₁D в точку А
Искомый угол - угол треугольника со сторонами
√13; √14 и √37
По теореме косинусов
(√37)²=13+14-2√13·√14 ·сosα ⇒
Как известно, сумма квадратов косинусов углов между диагональю прямоугольного параллелепипеда и ребрами, исходящими из одной вершины, равна 1. Поскольку косинус 60 градусов равен 1/2, получаем
(1/2)^2+(1/2)^2+cos^2 Ф=1⇒cos^2 Ф =1/2; cos Ф=√2/2; Ф=45°
Если Вы эту формулу не знаете, давайте выведем ее. Воспользуемся тем, что квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений, то есть ребер, выходящих из одной вершины: a^2+b^2+c^2=d^2, а тогда (a/d)^2+(b/d)^2+(c/d)^2=1.
Отношения a/d; b/d; c/d и являются косинусами нужных углов.
.............................