AM1=AM=AB/3
AN1=AN=AC/3
Если прямые, пересекающие две другие прямые, отсекают на обеих из них пропорциональные отрезки, начиная от вершины, то такие прямые параллельны (обратная теорема Фалеса).
AM1/AB=AN1/AC => M1N1||BC
△AM1N1~△ABC (углы при основаниях равны как соответственные при параллельных)
M1N1=BC/3 =5
△AMN=△AM1N1 (по двум сторонам и углу между ними)
MN=M1N1 =5
Боковая грань призмы - это прямоугольник, а=8см, с=10см - диагональ прямоугольника, она же гипотенуза прямоугольного треугольника. Отсюда, по теореме Пифагора, найдем ширину прямоугольника-сторону треугольника, основания призмы.
Если провести радиусы в точки касания окружности со сторонами тупого угла, то получим четырехугольник, углы которого 118°, 90°, 90°.
Угол между радиусами равен 360° - (90° +90° +118° ). = 62°. Этот угол центральный, значит и дуга равна 62°.
В треугольнике ЕРМ ∠М=90°, ∠Е=30°, МЕ=10 см.
а) ЕР=МЕ/cos30=10·2/√3=20/√3≈11.5, значит 11<EP<12 - это 1ответ.
б) МД=МЕ/2=5 см.
В тр-ке ЕРМ МР=МЕ·tg30=10/√3 см.
В тр-ке ДРМ РД²=МД²+МР²=25+100/3=175/3,
РД=5√7/√3=5√21/3≈7.6 см - это ответ.