X,y - основания трапеции
<span>a - боковая сторона </span>
<span>h - высота, h=4/5a </span>
<span>2a+x+y=64- периметр трапеции </span>
<span>Рассм. треугольник, образованный высотой трапеции h, боковой стороной a: </span>
<span>основание треугольника - (y-x)/2, тк по условию задачи, y-x=18, то основание треугольника равно 9. </span>
<span>по теореме пифагора, 81=a*a+h*h </span>
<span>81=a*a+16/25a*a, отсюда получаем, что а=15. h=4/5*15=12 </span>
<span>Из уравнения 2a+x+y=64 и y-x=18, находим, что основания трапеции х и у равны 8 и 26 соотвественно. </span>
<span>Площадь трапеции равна полусумме оснований на высоту, т.е. 0,5*12*(8+26)=204</span>
В ΔАВС
∠С = 36°
∠А = ∠В = (180-36)/2 = 72°
В ΔАВD
∠A = 72/2 = 36°
∠В = 72° из прошлого пункта
∠D = 180 - 36 - 72 = 72°
всё, подобие по трём углам
Коэффициент подобия
k = AB/AC
По теореме косинусов
AB² = АС²+BC² - 2*AC*BC*cos(36°) = 2*АС²-2*АС²*1/4(1+√5) = AC²*(2-1/2-√5/2) = AC²*1/2*(3-√5)
k = √((3-√5)/2) = √(3/2-√5/2)
некрасивый корень под корнем, немного улучшим
3/2-√5/2 = (a-b√5)² = a² - 2ab√5 + 5b²
2ab√5 = √5/2
---
ab = 1/4
a² + 5b² = 3/2
---
b = 1/(4a)
a² + 5/(4a)² = 3/2
a²+5/(16a²) = 3/2
a² = t
t² - 3/2t + 5/16 = 0
t₁ = (3/2-√(9/4-4*5/16))/2 = 3/4-1/2 = 1/4
a₁ = -1/2 - мусор
a₂ = 1/2 - это хорошо
t₂ = 3/4+1/2 = 5/4
a₃ = -√5/2 - мусор
a₄ = √5/2 - плохо
a=1/2
b = 1/(4a₂) = 1/2
k = √(3/2-√5/2) = √((a-b√5)²) = a-b√5 = 1/2-√5/2
Это золотое сечение :)
AD/BD=15/9=5/3=AK/BK, значит АК=BK*5/3 (из свойств биссектрисы)
1 - верно
2 - верно
3 - неверно
4 - неверно. Площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму основании.
5 - неверно. Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему.
<em> Решение:
<u>Синус угла - это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
</u>sin A = BC/AB = </em>√<em>7/4 в знаметеле видно что гипотенуза равна 4 , а по условию 8. Значит домножаем на 2.
sin A = 2</em>√<em>7/8
Получаем что катет ВС = 2</em>√<em>7 и гипотенуза АВ = 8.
По т. Пифагора (<u>Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов)
</u></em>
<em>
Ответ: АС = 6.<u>
</u></em>