Даны длины сторон треугольника <span>AB=5, AC=11, BC=12.
</span><span>Из вершины A треугольника ABC опущены перпендикуляр AX на биссектрису угла B и перпендикуляр AY на биссектрису внешнего угла C.
Найти длину отрезка ХУ.
Данную задачу можно решить двумя способами:
1) геометрическим,
2) векторным.
1) По заданным длинам сторон треугольника АВС находим углы:
</span><span><span /><span>
cos A= (<span>АВ²+АС²-ВС²)/(</span></span></span>2*АВ*АС)<span> =
0,018182.
</span><span><span /><span><span>
A =
1,552614
радиан
</span><span>=
88,9582
градусов.
</span></span></span><span><span /><span>
cos В= (<span>АВ²+ВС²-АС²)/(</span></span></span>2*АВ*ВС)<span> =
0,4.
</span><span><span /><span><span>
B =
1,159279
радиан
</span><span> =
66,42182
градусов.
</span></span></span><span><span /><span>
cos C= (<span>АC²+ВС²-АВ²)/(</span></span></span>2*АC*ВС)<span> =
0,909091.
</span><span><span /><span><span>
C =
0,4297
радиан
</span><span>=
24,61998
градусов.
Заданный отрезок ХУ рассмотрим как основание трапеции ВХУС.
ХУ = 12 - 5*cos(B/2)*cos(B/2) + 5*cos(B/2)*sin(B/2)*tg(C/2).
Подставив значения функций углов, находим: ХУ = 9.
2) Рассмотрим треугольник АВС в системе координат: точка А - начало, точка С -на оси Ох.
С учётом найденных значений углов, определяем координаты вершин:
</span></span></span><span><span /><span><span>
Точка А Точка В Точка С
</span><span>
Ха
Уа
Хв Ув Хс Ус
</span><span>
0 0 0,090909
4,999173 11
0
</span></span></span>Используем формулу биссектрисы по координатам вершин и длинам сторон: <span><span /><span><span>ВХ<span>:
(</span></span>(Уа-Ув
+
Ус-Ув
<span>)/АВ) * Х + ((</span>Хв-Ха
+
Хв-Хс
)/ВС) * У + ((Ха*Ув
-
Хв*Уа)/АВ
+ (Хс*Ув
-
Хв*Ус)/ВС<span>) =</span>
0.
Подставив значения, получаем </span></span>ВХ в виде уравнения с угловым коэффициентом: <span>
у(ВХ) =
-1,5898732
х
+
<span>5,143707.
</span></span>Уравнение перпендикуляра АХ из точки А на эту биссектрису с учётом к(АХ) = -1/к(ВХ) : у(АХ) = <span><span>0,628980978х.
</span></span>Находим координаты точки Х как точки пересечения прямых АХ и ВХ
<span><span /><span><span>
x(Х) =
2,318182; у</span><span>(Х) =
1,4580923.
Аналогично находим координаты точки У:
</span></span></span><span><span /><span><span>
x(У) =
10,5;
</span><span>
y(У) =
-2,2912878.
</span></span></span>Теперь длина ХУ равна:
ХУ = √((x(Х)-x(У))²+(у(Х)-у(У))²) = 9.
В параллелограмме ABCD противоположные стороны параллельны
Пусть середина FA точка А1, cередина FB точка В1, середина FC точка C1, середина FD точка D1
А1В1- средняя линия треугольника FAB, А1В1 параллельна АВ
С1D1 - средняя линия треугольника FCD, C1D1 параллельна DC
получается A1B1 || C1D1
В1С1 - средняя линия треугольника FВС, В1С1 параллельна ВС
D1A1 - средняя линия треугольника FAD, D1A1 параллельна AD
получается A1D1 || B1C1
<span>значит A1B1C1D1 - параллелограмм</span>
BD=AC(т.к. это диаметры)--> BO=OC(центр окр. делит диаметр пополам)-->треугольник BOC-равнобедренный-->угол BCO=OBC=26
Угол BOC=180- 2*26=128(сумма углов в треугольнике равна 180)
Угол BOC=AOD(т.к. они вертикальные)-->угол AOD=128
Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно равны, является параллелограммом.
Пусть АВ - меньшая сторона, тогда
АВ + ВС = 36 : 2 = 18 (см)
АВ = (18 - 2) : 2 = 8 (см)
Ответ: 8 см.