А) Плоскость β проведена через точку К параллельно плоскости BDA1, следовательно, эти плоскости будут пересекаться гранями параллелепипеда по параллельным прямым и наоборот, параллельные грани параллелепипеда будут пересекаться плоскостью β по параллельным прямым.
То есть линии пересечения секущих плоскостей гранью АА1В1В по прямым А1В и РК, линии пересечения граней АВСD и А1В1С1D1 секущими плоскостями по прямым ВD и РO, линии пересечения секущих плоскостей гранью АА1D1D по прямым А1D и ON, линии пересечения граней АA1B1B и DD1C1C секущими плоскостями по прямым A1В и NM, линии пересечения секущих плоскостей гранью АBCD по прямым DB и ML и линии пересечения граней АA1D1D и BB1C1C секущими плоскостями по прямым A1D и KL. Таким образом мы получили сечение KLMNOP параллелепипеда плоскостью β.
Отметим, что ВКND - прямоугольник по построению (плоскости ВА1D и β параллельны, а ВК и DN перпендикулярны BD) и DN=BK. Следовательно и КВ1=ND1 и DN/ND1=BK/KB1=1/2.
Отметим, что MN параллельна диагонали СD1 по построению (MN параллельна ВА1, а ВА1 параллельна СD1) и по теореме Фалеса DM:MC=DN:ND1=1:2, или CМ=2МD, что и требовалось доказать.
б) Площадь сечения плоскостью β - это площадь двух трапеций:
КРОN и KLMN с основаниями KN, OP и высотой FR (KPON) и основаниями KN, LM и высотой ES (KLMN) соответственно. Причем KN=BD=√(36+64)=10.
PO=(1/3)*KN=10/3, LM=(2/3)*KN=20/3.
В треугольниках A1В1D1 и CBD высоты A1Q и СТ - высоты из прямого угла и по ее свойствам A1Q=СТ=6*8/10=4,8, а А1F=(1/3)*A1Q=1,6 и СЕ=(2/3)*СТ=3,2.
Тогда QF=A1Q-A1F=3,2; ET=CT-CE=1,6.
QR=(2/3)*BB1=(2/3)*12=8; ST=12-8=4.
По Пифагору FR=√(QF²+QR²)=√(10,24+64)=√74,24.
SE=√(ET²+ST²)=√(2,56+16)=√18,56.
Skpon=(OP+KN)*FR/2=20*√74,24/3
Sklmn=(LM+KN)*SE/2=25*√18,56/3
Sklmnop=Skpon+Sklmn=20*√74,24/3+25*√18,56/3=5√18,56(4√4+5)/3=65√18,56/3.
Ответ: площадь сечения равна 65√18,56/3 ≈ 93,34 ед².
Прикрепляю листочек.................................................
У ромба все стороны равны, значит из P=4a найдём сторону ромба, т.е. a=P/4=12/4=3 см
2a²=D²+d²
D²+d²=2*3²=18 см
Ответ: 18 см.
Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, надо воспользоваться специальной формулой. Вот она:
S=1/2ab, где а и b - катеты прямоугольного треугольника. Сейчас мы не можем воспользоваться этой формулой, так как нам не известен другой катет этого треугольника. Найдём его по теореме Пифагора:
c^2=a^2+b^2 - теорема Пифагора в общем виде.
30^2=18^2+b^2
900=324+b^2
b^2=900-324
b^2=576
b=24 - другой катет. Теперь подставим числа в формулу площади и получим:
S=1/2×18×24=216. Это наш ответ, запишем его правильно:
Ответ: S=216