<span>1.в треугольнике АВС, АС=СВ=10см. угол А=30 градусов. ВК-перпендикуляр к плоскости треугольника и равен 5 корней из6 см.Найдите расстояние от точки К до АС.</span> <span>2.Точка М равноуалена от всех вершин равнобедренного прямоугольного треугольника АСВ(угол С=90), Ас=ВС=4см. Расстояние от точки М до плоскости треуг. равно 2 sqrt3.</span> <span>1)докажите что плоскость АМВ перпедикулярна плоскости АВС.</span> <span>2)какой угол плоскость ВМС составляет с плоскостью АВС?</span> <span>3)Найдите угол между МС и плоскостью АВС.</span> <span>3***Найдите расстояние от точки Е-середины стороны АВ-до плоскости ВМС.</span>
1. В равнобедренном треугольнике АВС угол при вершине С=120° (так как равные углы при основании равны по 30°, а сумма внутренних углов треугольника равнв 180°). Значит основание Н перпендикуляра ВН из точки В к стороне АС будет лежать на продолжении стороны АС. В прямоугольном треугольнике CНВ (<H=90°) угол НСВ (смежный с углом С треугольники АВС) равен 180°-120°=60°. Тогда <HBC=30° и катет СН=5 (половина гипотенузы СВ). По Пифагору ВН=√(ВС²-НС²)=√(10²-5²)=√75см. Тогда в прямоугольном треугольнике ВКН гипотенуза НК - расстояние от точки К до прямой АС (перпендикуляр к АС по теореме о трех перпендикулярах). По Пифагору НК=√(ВН²-ВК²)=√(75+150)=15см. Ответ: НК=15см. 2. 1) Точка М равноудалена от вершин треугольника,значит расстояния от основания перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость АВС также равны. Следовательно, проекция Н точки М на плоскость АВС находится в середине гипотенузы АВ треугольника АВС и отрезок МН, принадлежащий плоскости АМВ, перпендикулярен плоскости АВС.Следовательно, плоскость АМВ перпендикулярна плоскости АВС, что и требовалось доказать. 2) Угол между плоскостями - двугранный угол - измеряется линейным углом, то есть углом, образованным пересечением двугранного угла с плоскостью, перпендикулярной к его ребру.Проведем плоскость МНР перпендикулярно ребру СВ двугранного угла между плоскостями АВС и СМВ. Для этого опустим перпендикуляр НР на прямую СВ и соединим точки М и Р. В прямоугольном треугольнике МРН <MPH - искомый угол, тангенс которого равен отношению МН/НР. Гипотенуза АВ=4√2см (по Пифагору). Тогда СН=НВ=АН=2√2см. НР- высота в равнобедренном треугольнике СНВ и НР=СН*НВ/СВ (свойство). НР=(2√2)*(2√2)/4=2см. Tgα=МН/НР=2√3/2=√3. α=arctg√3 = 60°. Ответ: угол равен 60°. 3) Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость. Значит искомый угол - угол МСН, тангенс которого равен отношению МН/СН или tgβ=2√3/2√2 =√1,5. Угол β=arctg√1,5 ≈ 50,5° Или так: по Пифагору МС=√(МН²+СН²)=√20=2√5см. Тогда Sinβ = МН/МС=2√3/2√5 =√0,6. β=arcsin0,77 ≈ 50,5°. Ответ: угол равен arcsin√0,6 ≈ 50,5°. 3***. Расстояние от середины стороны АВ до плоскости ВМС - это перпендикуляр НТ из прямого угла МНР (точка Н совпадает с точкой Е) к гипотенузе МР треугольника МРН. по свойству он равен НТ=МН*НР/МР. МР=√(МН²+НР²)=√(12+4)=4. Тогда НТ=2√3*2/4=√3. Ответ: расстояние равно √3.