1) <span>
Вектор BD={xD-xB, yD-yB, zD-zB} = (-5;
5;
8).
IBD| (длина) = </span>√(25+25+64) = √114 ≈<span> <span>10,67707825.
2)</span></span><span>
Вектор BC={xC-xB, yC-yB, zC-zB} = (3;
1;
4).
|BC| = </span>√(9+1+16) = √26 ≈ <span>5,099019514.
</span>cos(BD∧BC) = |-5*3+5*1+8*4|/(√114*√26) = <span><span><span>
22/</span>54,44263 </span></span>≈<span>
<span>
0,404095.
3) S(DBC) = (1/2)|DD|*|BC|*sin(BD</span></span>∧BC)<span>.
Синус угла равен </span>√(1-cos²α) = √(1-0,404095²) = <span><span>0,914717.
</span></span>S(DBC) = (1/2)*(√114*√26)*0,914717 ≈ <span><span>24,8998.
Эту же площадь можно получить как векторное произведение.
</span></span>Произведение векторов a × b = {aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx}
<span>S(DBC) = (1/2)
[BC x BD]= (1/2)</span>√((-12)²+44²+20²) =(1/2)√<span>
2480 </span>≈<span> 24,8998.
4) Объём V.
</span><span><span /><span><span><span>Объем пирамиды равен: </span></span><span><span>(AB{x1, y1, z1} ; AC{x2, y2, z2} ; AD{x3, y3, z3})= x3·a1+y3·a2+z3·a3</span> .</span></span></span>
<span><span>AB*AC = (-6;
-34;
13)
</span><span /><span /><span>
V = (1/6)*|-1*(-6)+2*(-34)+2*13| = (1/6)*36
=
</span><span>
6 куб ед.
5) Уравнение АС.
x+3 y-1 z-3
------ = ------ = -----
4+3 -1-1 1-3
</span></span>x+3 y-1 z-3
------ = ------ = -----
7 -2 -2 Это каноническое уравнение.
Уравнение прямой в векторном виде:<span> r = r0 + a</span><span> · t ,</span>
<span>где </span><span>r0</span><span> - радиус-вектор известной фиксированной точки, лежащей на прямой;</span>
<span>в нашем случае в качестве </span><span>r0</span><span> мы можем взять как радиус-вектор (-3; 1; 3) точки A, так и радиус-вектор (4; -1; 1) точки С;</span>
a<span> - направляющий вектор прямой, </span>
a<span> = (x</span>С<span> - x</span>A; yС<span> - y</span>A; zС<span> - z</span>A) = (4 - (-3); -1 - (1); 1 - (3)) = (7; -2; -2);
t - параметр на прямой, для каждого значения параметра t мы будем получать новую точку на нашей прямой.
Параметрическое уравнение прямой:
<span>x = -3 + (7) · t ,
y = 1 + (-2) · t ,
z = 3 + (-2) · t .
</span>
6) <span> Уравнение плоскости ABD (то есть по трём точкам).
<span><span>
Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2,
z3) – координаты первой, второй и третьей точки соответственно.
</span><span>Уравнение плоскости, проходящей через эти точки, находим из выражения:
(x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1)
– (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) +
(z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0.
</span></span></span>Подставив координаты точек, получаем:
<span>(x - (-3))(</span>-3·2-(-6)·2) - (<span><span>y - </span>1)(</span>4·2-(-6)·(-1)) + (<span><span>z - </span>3)(</span>4·2-(-3)·(-1)) = 0.
6(<span>x - (-3))</span> + (-2)(<span>y - 1)</span> + 5(<span>z - 3)</span> = 0.
6x - 2y + 5z + 5 = 0.
7) Угол между ребром АС и гранью ABD.
Уравнение плоскости ABD: 6x - 2y + 5z + 5 = 0.
Уравнение прямой AC: (x+3)/7 = (y-1)/(-2) = (z-3)/(-2).
Находим синус угла:
sin α = |6*7+(-2)*(-2)+5*(-2)|/(√(6²+2²+5²)*√(7²+2²+2²)) =
= 36/(√65*√57) = 36/(8,062258*7,549834 ) =
= 36/60,86871 ≈
0,591437.
Этому синусу соответствует угол 0,63284 радиан или
36,25904°.
8) Уравнение высоты из вершины С на грань ABD.
<span>Составим уравнение перпендикуляра, опущенного из точки<span> С</span>(4; –1; 1) на плоскость ABD: 6</span>x<span> - 2</span>y <span>+ 5</span>z + 5 = 0:
(x-4)/6 = (y+1)/(-2) = (z-1)/5.
9) Чертёж уже надо самому сделать по координатам точек.