Искомый двугранный угол ABCD - это угол между плоскостями АВС и DBC.
АС⊥ВС по условию, АС - проекция DC на плоскость АВС, ⇒ DC⊥BC по теореме о трех перпендикулярах, ⇒
∠DCA - линейный угол искомого двугранного угла.
ΔАВС: по теореме Пифагора АВ = √(АС²+ ВС²) = √(25 + 25) = √50 = 5√2
ΔDAB: по теореме Пифагора DA = √(DB²- AB²) = √(125 - 50) = √75 = 5√3
ΔDAC: tg∠α = DA : AC = 5√3 / 5 = √3, ⇒
∠DCA = 60°
Проведем СН - высоту прямоугольного треугольника АВС.
Тогда АН = 3 см, ВН = 12 см по условию.
По свойству пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике:
СН² = AH · BH = 3 · 12 = 36
CH = 6 см
Из прямоугольного треугольника АСН по теореме Пифагора:
АС = √(АН² + СН²) = √(9 + 36) = √45 = 3√5 см
Из прямоугольного треугольника ВСН по теореме Пифагора:
ВС = √(ВН² + СН²) = √(144 + 36) = √180 = 6√5 см
АВ = АН + ВН = 3 + 12 = 15 см
DD1 параллельна OO1, угол между прямой DD1 и плоскостью АСB1 равен углу между прямой ОО1 и плоскостью АСB1, по определению: угол между прямой и плоскостью это угол<span> между прямой DD1 и ее проекцией на эту плоскость. ОК проекция прямой ОО1 на плоскость АСВ1. Найдем синус угла В1ОО1 (он равен углу КОО1) из треугольника В1ОО1:</span>
[
tex]B_1O= \sqrt{a^{2}+( \frac{a \sqrt{2} }{2})^2 } = \sqrt{a^{2}+ \frac{a^2 }{2} } = \frac{a \sqrt{3} }{ \sqrt{2} } [/tex]
ΔABC ~ ΔHMC за двома кутами.
Тоді відповідні сторони цих трикутників, як і їхні периметри, відносятся, як коефіцієнт подібності.
P(ΔABC) / P(ΔHMC) = BC / MC
(AB + BC + AC) / P(ΔHMC) = BC / MC
(31 + 15 + 26) / P(ΔHMC) = 15 / 5
72 / P(ΔHMC) = 3
P(ΔHMC) = 72/3
P(ΔHMC) = 24 см
У ромба диагонали тоской пересечения делятся пополам и образуют угол в 90 градусов, значит треугольник ВОС - прямоугольный, где ВО= 1, ОС =√3/2
( О пересечение диагоналей)
по т. Пифагора
ВС=√1²+(√3/2)²=√7/4