Если кот не прошёл осенне-зимнюю 'акклиматизацию', т.е. не отрастил подшёрсток, а такое как раз бывает с квартирными котами, почти не бывавшими с осени на холоде, то такой кот может серьёзно замёрзнуть зимой со всеми отсюда вытекающими последствиями.
Выпускать кота гулять можно и в мороз, но на короткое время, просто нужно отследить, как он, замёрзнув, вернётся сам домой, чтобы пустить его в тепло. Кот сам определит, стоит ему высовывать нос за дверь и на сколько именно по времени гулять, если решиться на это. Главное - не передержать его на морозе, когда вернётся.
Дворовые же коты переносят довольно сильные морозы, только уши могут отморозить. Но у них мощный подшёрсток.
Котёнку однозначно гулять понравится. Но в первые прогулки нужно его сопровождать, так как он может испугаться, заблудиться, влезть куда-нибудь. Несколько раз нужно показать ему приблизительный маршрут прогулки, но пусть он ходит сам, а не на руках, так он лучше запомнит. Играйте с ним на улице; отходите, пусть он подбегает к вам; но всё же больше давайте свободы. С моей кошкой было так: я её не пускала на улицу, так как боялась, что она не вернётся. Она не знала, что находится за порогом квартиры, максимум - выходила на лестничную площадку, но когда в подъезде слышались шаги, тут же шмыгала в квартиру. Но как-то мы уехали с ней на лето в село к бабушке и после приезда нашу кошку было не узнать: она сбегала на улицу, едва приоткрывалась входная дверь, пыталась спрыгнуть с балкона (5 этаж!), форточку открыть нельзя было! Она начала выть и гадить на ковёр у меня на глазах, так сказать - мстила за неволю. Пришлось отвозить её обратно в деревню. Как только она оказалась там, убежала от меня, чтоб я не забрала в город. Сейчас её проведываем там и могу сказать, что она счастлива! Вот такое может быть.
По всей видимости Ваш кот кастрирован,вероятно его с детства не приучили к улице, поэтому ему туда не хочется. Нет никакой необходимости его заставлять. Если еще машины по двору ездят, тем более. На улице домашних кошек подстерегают многочисленные опасности - больные кошки, нехорошие люди, машины. Поэтому не заставляйте кота гулять насильно.
Вообще выгул кошек зависит от многих факторов. Странно представить в деревне кошку без выгула, там гуляют все кошки на улице. В частоном доме с просторным участком, тоже кошек выпускают гулять. В многоэтажках коты не гуляют, разве что на поводках или на руках.
Я держу котов больше 20 лет. В городе живу на 12 этаже, естественно кошки не гуляют на улице. Но в теплое время года вывожу их каждые выходные на дачу, предварительно сделав прививку от бешенства, они там охотно гуляют, уезжать не хотят. На даче относительно безопасно. К тому же кошки постоянно на глазах.
Прежде всего помойте его в ванной, можно с мылом, но не в коем случае не с шампунем. Затем можете свозить его на осмотр к ветеринару, если там он что нибудь найдёт то назначит лечение вашему коту, лучше потратиться один раз на осмотр.
Вообще то коты это не собаки, они практически дрессировке не поддаются. Скорей хозяева становятся подопытными кроликами. Кота привезли на природу и держат в клетке. Ну кому это понравится. Он же не мышка. Вокруг столько запахов, а он в клетке, в домике. Своим криком он показывает, что ему хочется выйти и побегать, понюхать, кого-нибудь поймать, например ту же муху. Когда мы привозим своего кота на дачу, так он подъезжая уже предупреждает, что ни за что не будет сидеть, он у нас шипит)) и урчит. Мы его сразу же выпускаем и он пулей носится по всему участку. А вы про домик. Это для нас домик красивый, а для животных это клетка).