1<em>.В четырехугольнике АВСD ∠А+∠В=180°, АВ||CD. На сторонах ВС и АD отмечены точки М и К соответствеенно так, что ВМ=КD.<u>Докажите, что точки М иК находятся на одинаковом расстоянии от точки пересечения диагоналей четырехугольника. </u></em>
По условию ∠А+∠В=180°.
Так как эти углы лежат на одной прямой и являются односторонними, ВС||AD по свойству углов при двух прямых и секущей. АВ||CD. <em>Если противоположные стороны четырехугольника попарно параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм. </em>
<u>АВСD - параллелограмм. </u>Противоположные стороны параллелограмма равны, противоположные углы параллелограмма равны, диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
В треугольниках СОМ и АОК стороны СО=ОА, углы СОМ=КОА как вертикальные, Углы МСО=КАО как накрестлежащие при ВС и АD.
Если в треугольниках сторона и прилежащие к ней два угла равны, то эти треугольники равны.
=>МО=ОК, что и требовалось доказать.
2.
<em>На сторонах РК и МН параллелограмма МРКН взяты точки А и В соответственно, МР=РВ=АК; ∠МРВ=60°. <u>Найдите углы параллелограма и сравните отрезки ВМ и АН. </u></em>
По условию МР=РВ, и угол МРВ равен 60°.
Этот треугольник не просто равнобедренный, но равносторонний, т.к. все углы в нем равны 60°(проверьте).
Следовательно, острые углы параллелограмма равны 60°,
тупые=180°- 60°=120°.
МР=РВ=АК, но РМ=КН как противоположные стороны параллелограмма.
Треугольник АКН - равносторонний. АН=ВМ.
3.
<em>На основании АС равнобедренного треугольника АВС отмечена точка К, а на сторонах АВ и Вс - точки М и Р соответственно, причем РК=МВ, ∠КРС=80°, ∠С=50°. <u>Докажите, что КМВР - параллелограмм.</u></em><u> </u>
Треугольник АВС по условию равнобедренный.
Следовательно, ∠А=∠С=50°, угол при вершине В равен углу КРС=80°
В треугольнике КРС угол при вершине Р=80°, угол при С равен 50°, третий его угол при К=180°-80°-50°=50°.
Треугольник КРС - равнобедренный.
Т.К. ВМ=КР, то РС=ВМ.
Если от равных сторон АВ и ВС отрезать равные отрезки, оставшиеся части сторон также равны.
АМ=ВР.
Но треугольник АМК - равнобедренный ( сможете доказать самостоятельно по углам).
В четырехугольнике КМВР противоположные стороны попарно равны.
Этого достаточно,чтобы доказать их параллельность, хотя можно подкрепить доказательство ещё и равенством углов. <em>Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.</em>
<span>Рисунки к задачам даны во вложении, все равные углы на них окрашены одинаковым цветом. </span>
Т.к. прямая касается окружности, то угол BAO = 90°, по свойству касательной.
Как мы знаем, сумма всех углов в треугольнике равна 180°, отсюда угол AOB = 90-70=20°
Диагональ куба находится по формуле d=a√3, отсюда а=d/√3=√108/√3=√36=6. Объем куба V=a^3=6^3=216
P(прав.шестиуг.)=6*a ⇒ 48/6=8 м - сторона шестиугольника
r (прав. шестиуг)=a ⇒ r=8 м - радиус описанной окружности
r (прав. четырехуг)=a*√2/2 ⇒ a=16/√2 м