Дана <span>правильная четырёхугольная пирамида SABCD, все ребра которой равны, точка M - середина SB.
Найти косинус между АМ и </span>BD.
Есть 2 метода решения этого задания:
1) геометрический,
2) векторный.
Примем 1 вариант. Длины рёбер примем за 1.
Перенесём отрезок АМ точкой А в точку Д.
Новую точку М соединим с вершиной основания В.
Получили треугольник ДМВ.
Находим длины сторон.
ДВ = √2 (как диагональ квадрата).
Высота пирамиды с диагональю √2 и боковыми рёбрами по 1 (это прямоугольный равнобедренный треугольник с острыми углами по 45 градусов) равна половине гипотенузы, то есть √2/2.
Так как точка М на середине ребра, то она по высоте отстоит от основания на √2/4.
ВМ = √((1+(1/4))²+(1/4)²+(√2/4)²) = √(25+1+2)/16) = √28/4 = √7/2.
ДМ = √((3/4)²+(1/4)²+(√2/4)²) = √(9+1+2)/16) = √12/4 = √3/2.
Косинус угла Д находим по теореме косинусов.
cos D = ((√3/2)²+(√2)²-(√7/2)²)/(2*(√3/2)*(√2) =
= ((3/4)+2-(7/4))/√6 = 1/√6 = √6/6 ≈ <span><span>0,4082483.
Этому косинусу соответствует угол </span></span><span><span><span>
1,150262 радиан или
</span><span>
65,905157</span></span></span>°.
АВ=15, ВЕ=20,
В тр-ке АВЕ опустим высоту ВМ, её и ищем.
АЕ=√(АВ²+ВЕ²)=√(15²+20²)=25,
Пусть АМ=х, ЕМ=25-х,
В тр-ке АВМ ВМ²=АВ²-АМ²=15²-х²,
В тр-ке ЕМВ ВМ²=ВЕ²-ЕМ²=20²-(25-х)²,
15²-х²=20²-(25-х)²
225-х²=400-625+50х-х²
50х=450
х=9
ВМ=√(15²-9²)=12.
Треуг. АОС - равнобедренный (ОА-радиус, ОС-радиус) => АОС=96 (по условию)=>угол САО=АСО=(180-96)/2=42
<span>=> угол АСВ=42.</span>
АС=24см,BD=10см
Меньшая диагональ основания BD,значит меньшая диагональ параллелепипеда B1D
<B1DB=45⇒B1B=BD=10см
Sпол=2Sосн+Sбок=2*AC*BD/2+B1B*4AB
AB=√[(AC/2)²+(BD/2)²]=√(12²+5²)=√(144+25)=√169=13
Sпол=24*10+10*4*13=240+520=760см²