Для удобства примем длину ребра куба, равную 20 (для кратности).
Определим координаты точек.
В(0; 0; 0), N(0; 4; 20),
C(0; 20; 0), M(5; 20; 20).
х у z Длина
Вектор BN 0 4 20 20,39608 = 4√26
Вектор СM 5 0 20 20,61553 = 5√17
Скалярное произведение равно 0*5+4*0+20*20 = 400.
cos a = 400/(4√26*5√17) = 0,9513.
Угол а = 0,3134 радиан или 17,9542 градуса.
Пусть a║b, с⊥а.
Доказать, что c⊥b.
Предположим, что прямые b и с не параллельны, тогда угол при их пересечении с одной стороны <90° или >90°
В первом случае сумма односторонних углов при пересечении прямых а и b прямой c будет <180°, значит по правилам построения треугольников (сумма углов равна 180°) прямые а и b должны пересечься, а это противоречит условию. Значит b⊥c.
Поместим начало координат в вершину прямого угла, а оси направим по его сторонам. Пусть конец отрезка, который движется по оси ОХ, имеет координаты (t,0). Тогда, если длина отрезка равна L, то второй конец, который движется по оси ОY, будет иметь координаты
. Тогда абсцисса середины отрезка x=t/2, а ордината середины
. Отсюда t=2x. Подставляем это в y и получаем, что x и y связаны соотношением
. Т.е. середина отрезка описывает дугу окружности с центром в вершине прямого угла, и радиусом в половину длины отрезка.
Проведём высоту к большему основанию, после чего получаем прямоугольный треугольник с одним из углов равным 45 градусам.
Второй угол, соответсвенно, равен 180 - 90 - 45 = 45 градусов, т.е. образованный треугольник и прямоугольный, и равнобедренный.
Т.к. после проведения высоты мы получили ещё и квадрат, значит меньшая боковая сторона равна проведённой высоте, т.е. она равна той части большего основания, которую мы и искали.
Таким образом, по формуле площади трапеции мы получаем, что S = полусумме основания * на высоту, т.е. 10+5/2 * 5 = 37,5 см^2