Призма правильная и прямая?
Тогда все просто. Плоскость грани А1В1С1 перпендикулярная плоскости грани ВВ1С1С, и треугольник FC1O прямоугольный, где FO - гипотенуза, ОС1 = 4√2/2 = 2√2 - один его катет и С1F = 4:2 = 2 (по условию).
Согласно теореме Пифагора, FO = √(2√2)^2 + 2^2 = 2√3.
Радиус описанной окружности основания по теореме косинусов, разбив основание на три равных тупоугольных треугольника
(√3)² = R²+R²-2R²cos(120°)
3 = 3R²
R = 1
радиус вписанной окружности основания через площадь
S = 1/2R²sin(120) = 1/2*√3*r
√3/2 = √3*r
r = 1/2
-----
Теперь найдём высоту пирамиды
h/r = tg(a) = 4
h = 4r = 2
---
Обозначим радиус сферы через z
R²+(h-z)² = z²
1+(2-z)²=z²
5-4z = 0
z=5/4
Внешний угол третьего угла треугольника равен сумме двух других внутренних углов этого треугольника.
100+30=130°.
Формула для нахождения радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности:
r=(a+b-с) /2 , где a,b - катеты, с-гипотенуза. В нашем треугольнике гипотенуза = 17 (по теореме Пифагора), значит , r= (8+15-17)/2 = 3.
Можно решить по другой формуле: r=S/p, где S- площадь треугольника, p- полупериметр. S=a*b/2=15*8/2=60. p=(8+15+17)/2=20. r=S/p=60/20=3.
Перпендикулярны когда скалярное произведение ноль
42+28+5z=0
z= -14