Треугольник АСD прямоугольный, тогда
;
Опустим высоту CH; AD=AH+HD; AH=BC;
из прямоугольного треугольника HCA;
AH=
;
ΔDKВ - прямоугольный и равнобедренный, т.к. углы при основании равны:
∠ВКD = 90° - по условию
∠КВD= 45 ° - по условию
∠ВDК = 90° -45 ° = 45° (т.к. сумма двух углов прям.Δ =90°)
⇒∠КВD= ∠ВDК = 45° - углы при основании
⇒DК=КВ = 24
Площадь : S= ah
h= КВ = 24 - высота
a=АD = 24+8 = 32 - основание
S= 24*32= 768
Ответ: S=768
Сектор - часть круга. Длина дуги сектора вычисляется по формуле:
L=π*r*n/180°.
В нашем случае n=90°, L=π*r/2. Заметим, что в этой формуле
r = l - образующая конуса, а L - это длина окружности нашего конуса. Радиус окружности основания конуса находим поформуле: L=2π*R или в нашем случае π*r/2=2π*R, отсюда R=π*r/(2*2π)=r/4.
Теперь рассмотрим осевое сечение конуса.
Это равнобедренный треугольник с боковыми сторонами - образующей конуса и основанием - диаметром окружности основания конуса.
Причем высота конуса SH - это и биссектриса и медиана этого треугольника.
В прямоугольном треугольнике SHC синус угла HSC равен отношению
противолежащего катета (R) к гипотенузе (l=r) или Sin(<HSC)=(r/4)/r=1/4.
Заметим, что <HSC - это половина искомого угла при вершине конуса (так как SH - биссектриса).
По формуле Sinα=2Sin(α/2)*Cos(α/2) найдем искомый угол α.
Cosα=√(1-sin²α)=√(1-1/16)=√15/4.
Sinα=2*(1/4)*(√15/4)=√15/8.
Ответ: угол при вершине конуса равен arcsin(√15/8).
α≈29°
Можно найти угол при вершине по теореме косинусов:
Cosα=(a²+b²-c²)/2ab, где угол α - угол между сторонами a и b.
В нашем случае a=b=r, c=2R=r/2.
Тогда Cosα=(2r²-r²/4)/2r²=7r²/8r²=0,875. α=arccos0,875 или α≈29°.
1)
меньший угол = х
больший угол = 17х
х + 17х = 180
18х = 180
х 180/18
х = 10° ← меньший угол
больший угол = 17х = 17*10 = 170°
Ответ: 10° и 170°
2)
меньший угол = 19х
больший угол = 26х
19х + 26х = 180
45х = 180
х = 180/45
х = 4°
меньший угол = 19х = 19*4 = 76°
больший угол = 26х = 26*4 = 104°
Ответ: 76° и 104°