Метод координат довольно громоздкий, но, если просят... :)
Расположим начало координат в точке А, ось Х вправо, ось Y вверх
А(0;0)
C(7;0)
Уравнение окружности радиусом 5 с началом в А
x²+y²=5²
Уравнение окружности радиусом 3√2 с началом в C
(x-7)²+y²=(3√2)²
Решаем совместно для нахождения координат точек В и Д
Вычтем из первого второе
x²-(x-7)²=5²-(3√2)²
14x-49=25-9*2
14x=49+25-18
14x=56
x=4
y²=5²-x²=25-16=9
y₁ = -3 - это точка Д(4;-3)
y₂ = +3 - это точка В(4;3)
Точка Ё - середина отрезка АВ, её координаты равны среднему арифметическому координат точек А и В
Ё = (А+В)/2 = ((0;0)+(4;3))/2 = (2;3/2)
Точка Щ - середина отрезка СД, её координаты равны среднему арифметическому координат точек С и Д
Щ = (С+Д)/2 = ((7;0)+(4;-3))/2 = (11/2;-3/2)
И расстояние ЁЩ
l² = (x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²
l² = (2-11/2)²+(3/2+3/2)² = (7/2)²+(3)² = 49/4+9 = 85/4
l = √(85/4) = √85/2
И это ответ
1) Треугольник ACB - прямоугольный, угол С=90 градусов (т.к. он опирается на диаметр)
2)Дополнительное построение: CH перпендикулярна AB (высота)
Из п.1 и 2 => AC^2=AH*AB (свойство высоты, проведенной из вершины прямого угла прямоугольного треугольника)
Т.к. AC=AH, заменю и перенесу влево
AC^2-AC-12=0
D=1+48=49
AC=AH=(1+7)/2=4
3) BH=AB-AH
BH=12-4=8
4) CH^2=AH*BH (свойство высоты, проведенной из вершины прямого угла прямоугольного треугольника)
CH^2=4*8
CH=4√2 — расстояние от С до прямой АВ
5) S=1/2*AB*CH
<span>S=12/2*4√2=24√2 — площадь треугольника ABC </span>
По т Пифагора 4^2+8^2=16+64=80