Внешняя точка - C, центр большой окружности - O
пусть K - точка касания маленькой окружности и описанной в условии фигуры;
ok ∩ mn = L
проведем через неё касательную к обеим окружностям, пусть точки пересечения ей сторон угла MCN A и B.
OK ⊥ AB по св-у касательной
OK ⊥ MN, тк ol - биссектриса равнобедренного треугольника mon (равенство углов следует из равенства треугольников cmo и cno)
таким образом ab || mn
значит Δabc ~ Δamn по двум углам и Δabc - равносторонний (∠cmn = = ∠mnc = ∠cab = ∠cba = 60 (угол между касательной и хордой равен половине дуги заключенной между ними))
большая окружность - вневписанная для Δabc
=> cn = cm = полупериметру
пусть сторона abc = a
тогда cm = 1.5a
ca / cm = 2 / 3
mn по теореме косинусов из Δmon = 18√3
ab = 2 mn / 3 = 12√3 = a
осталось найти радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник abc со стороной 12√3
S = p * r = a²√3 / 4
r = a^2 √3 / (4 * 1.5a) = a * √3 / 6 = 12 * 3 / 6 = 6
Длина окружности с радиусом 6 = 2π * 6 = 12π
Ответ: 12π
АВ и СD пересекаются в точке О, тогда в треугольниках AOD и BOC
<span>AO = OB и CO = OD по условию, а </span>
<span>∠AOD = ∠BOC, как вертикальные при пересекающихся прямых, </span>
<span>а следовательно ∆AOD = ∆BOC </span>
<span>по первому признаку равенства треугольников: "Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. " </span>
биссектрисса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону в отношении равном отношению прилежащих сторон. Пусть отрезок, прилежащий к стороне 12 см, равен х, тогда другой отрезок х+5. Отношение х/(х+5)=12/18
18х=12х+60
6х=60
х=10, второй отрезок 10+5=15, а вся сторона 10+15=25см.
Периметр- 12+18+25=55см
Если соединить точки В и О, мы получим два треугольника АВО и ВОС. Так как все стороны ромба равны АВ=ВС=СО=АО и равны радиусу окружности, а также ОВ является радиусом треугольники АВО и ВОС равносторонние. Значит углы в треугольниках по 60º. Угол АОС=60+60=120º, а так как угол АОС является центральным, то градусная мера дуги, на которую он опирается тоже равна 120º.
Вся окружность это 360º и это 30см. А 120º это х.
По пропорции находим х=120*30/360=10.
Ответ: 10см.