1) Выражение <span>x12+x22 </span> получится, если взвести в квадрат обе части равенства <span>x1+x2=-p;</span>
(x1+x2)2=(-p)2; раскрываем скобки: x12+2x1x2+ x22=p2; выражаем искомую сумму: x12+x22=p2-2x1x2=p2-2q. Мы получили полезное равенство: <span>x12+x22=p2-2q.</span>
2) Выражение <span>x13+x23 </span>представим по формуле суммы кубов в виде:
(x13+x23)=(x1+x2)(x12-x1x2+x22)=-p·(p2-2q-q)=-p·(p2-3q).
Еще одно полезное равенство:<span> x13+x23=-p·(p2-3q).</span>
Примеры.
<span>3) x2-3x-4=0.</span> Не решая уравнение, вычислите значение выражения <span>x12+x22 </span>.
Решение.
По теореме Виета сумма корней этого приведенного квадратного уравнения
<span>x1+x2=-p=3, </span>а произведение <span>x1∙x2=q=</span>-4. Применим полученное нами (в примере 1) равенство:
<span>x12+x22=p2-2q. </span>У нас -p=x1+x2=3 → p2=32=9; q=x1x2=<span>-4. </span>Тогда <span>x12+x22=9-2·(-4)=9+8=17.</span>
<span>Ответ: x12+x22=17.</span>
4) <span>x2-2x-4=0.</span> Вычислить: x13+x23.
Решение.
По теореме Виета сумма корней этого приведенного квадратного уравнения <span>x1+x2=-p=2, </span>а произведение <span>x1∙x2=q=</span>-4. Применим полученное нами (в примере 2) равенство: <span>x13+x23=-p·(p2-3q)=</span>2·(22-3·(-4))=2·(4+12)=2·16=32.
Ответ: <span>x13+x23=32.</span>
Вопрос: а если нам дано не приведенное квадратное уравнение? Ответ: его всегда можно «привести», разделив почленно на первый коэффициент.
<span>5) 2x2-5x-7=0. </span>Не решая, вычислить: <span>x12+x22</span>.
<span>Решение. </span>Нам дано полное квадратное уравнение. Разделим обе части равенства на 2 (первый коэффициент) и получим приведенное квадратное уравнение: <span>x2-2,5x-3,5=0.</span>
По теореме Виета сумма корней равна 2,5; произведение корней равно -3,5.
Решаем так же, как пример 3), используя равенство: <span>x12+x22=p2-2q.</span>
<span>x12+x22=p2-2q=</span>2,52-2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.
Ответ: <span>x12+x22=13,25.</span>
<span>6) x2-5x-2=0.</span> Найти:
Преобразуем это равенство и, заменив по теореме Виета сумму корней через -p, а произведение корней через q, получим еще одну полезную формулу. При выводе формулы использовали равенство 1): <span>x12+x22=p2-2q.</span>
В нашем примере <span>x1+x2=-p=5; <span>x1∙x2=q=</span>-2. </span>Подставляем эти значения в полученную формулу:
<span>7) x2-13x+36=0.</span> Найти:
Преобразуем эту сумму и получим формулу, по которой можно будет находить сумму арифметических квадратных корней из корней квадратного уравнения.
У нас <span>x1+x2=-p=13; <span>x1∙x2=q=36</span>. </span>Подставляем эти значения в выведенную формулу:
Совет: всегда проверяйте возможность нахождения корней квадратного уравнения по подходящему способу, ведь 4 рассмотренные полезные формулы позволяют быстро выполнить задание, прежде всего, в тех случаях, когда дискриминант — «неудобное» число. Во всех простых случаях находите корни и оперируйте ими. Например, в последнем примере подберем корни по теореме Виета: сумма корней должна быть равна 13, а произведение корней 36. Что это за числа? Конечно, 4 и 9. А теперь считайте сумму квадратных корней из этих чисел: 2+3=5. Вот так то!