Если тридцатизначное число содержит в себе хотя бы одну цифру ноль, то можно вычеркнуть прочие 29 цифр, и тогда этот самый оставшийся в итоге ноль поделится без остатка на любое число, в т.ч. и на указанное в условии число 101.
Если нулей в тридцатизначном числе не содержится, то одна из цифр данного числа будет повторяться в нем как минимум четырежды. В этом случае оставляем четыре одинаковые цифры, вычеркивая все прочие. Получившееся число вида nnnn, где 0 < n ≤ 9, удовлетворят необходимому и достаточному условию делимости на 101.
И действительно, в нашем случае |nn - nn| = 0, стало быть, четырехзначное число nnnn без остатка делится на 101.
Верно, потому что, чтобы числа имели общий делитель больший единицы ,надо чтобы разница между ними была, как минимум, равна 2.Например числа 4 и 6.НОД=2,числа 10 и 12-НОД=2.Доказать строго это не берусь.
Насколько я понял, R – это значок функции, например f(x). Поэтому запишем ваш первый интеграл так I = int[f(sinx)cosxdx]. Сюда входят и синус и косинус. Самый простой способ решения это заменить косинус на синус, или наоборот. При этом надо знать следующее равенство: d(sinx) = cosxdx. Или cosxdx = d(sinx). Тогда ваш интеграл примет более удобный вид I = int[f(sinx)dsinx]. Сюда входит только одна функция sinx. Чтобы было еще понятней, сделаем такую замену переменных: sinx = z. Тогда I = int[f(z)dz]. Для того чтобы решить этот интеграл, надо знать конкретный вид функции f(z).
Возьмем ваш второй интеграл I = int[f(cosx)sinxdx]. Метод решения тот же самый. Но надо вспомнить дифференциал от косинуса. Он тоже есть в таблицах. d(cosx) = -sinxdx. То есть sinxdx = - d(cosx). Тогда ваш второй интеграл примет вид I = -int[f(cosx)d(cosx)]. Для удобства введем замену переменных cosx = z. Имеем I = -int[f(z)d(z)]. Интегралы в алгебраическом виде решать проще, чем в тригонометрическом виде. И здесь надо знать конкретный вид функции f(z).
Теперь ваш третий интеграл int[f(sinx,cosx)dx]. Сделаем такую же замену переменных, как и в предыдущем случае. Здесь уже сложнее. Надо в подинтегральном выражении оставить только синус или только косинус, сделать что проще. Например, выразим sinx через cosx. Из тригонометрии мы знаем, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1. То есть сумма квадратов синуса и косинуса равна 1. Отсюда sin^2(x) = 1 - cos^2(x). Тогда sinx = корень[1 - cos^2(x)]. Где корень[ ] означает взять квадратный корень из выражения, стоящего в квадратных скобках. То есть мы заменили синус на косинус. Остается интеграл только от косинуса. I = int[f(cosx)]dx. Например, имеем интеграл I = int[cos^2x * sinxdx]. Заменим синус на косинус. I = int{cos^2x * корень[1 - cos^2(x)]dx}. Получилось сложное выражение. Но метод решения вашего интеграла – надо выразить синус через косинус или косинус через синус, и выбрать что проще. Для решения интеграла int[f(cosx)]dx тоже бывает проще перейти к алгебраическому выражению. Сделаем замену переменных cosx = z. Но dz = dcosx = -sinxdx = - корень[1 – cos^2x]dx = - корень[1 – z^2]dx. Отсюда dx = -dz/корень[1 – z^2]. Имеем I = int[f(cosx)]dx = -int[f(z)dz/корень(1 – z^2)].
Трудно сказать и маловероятно, что кто-то ответит. На счет дроббей очень все сложно.
Дробби те же лобби, а их множить уже некуда. Лобби достигли своего предела, хотя совершенству предела нет. Лобби можно только делить, поскольку умножить его на ноль нельзя, так же как и числа нельзя делить на ноль.
Что касается дробей - то тут все просто. Числитель умножаем на числитель, знаменатель на знаменатель. Например: 3/4 умножить на 2/5 равно 6/20 Т.е. 3 умножаем на 2 и записываем результат в числитель, а потом 4 умножаем на 5 и результат пишем в знаменатель.
Вот пример: | |x| - 83 | = 120
1) При x < 0 будет |x| = -x
|-x - 83| = |x + 83| = 120
При x < -83 будет |x + 83| = -x - 83
-x - 83 = 120
-x = 203
x1 = -203
При -83 < x < 0 будет |x + 83| = x + 83
x + 83 = 120
x = 120 - 83 = 37 > 0 - не подходит.
2) При x > 0 будет |x| = x
|x - 83| = 120
При 0 < x < 83 будет |x - 83| = 83 - x
83 - x = 120
83 - 120 = x
x = -37 < 0 - не подходит
При x > 83 будет |x - 83| = x - 83
x - 83 = 120
x2 = 83 + 120 = 203
Ответ: -203, 203.