Треугольник АВС, АН высота, КМ параллельна ВС, треугольник АНС подобен треугольнику АКМ как прямоугольные треугольники по равному острому углу (уголНАС-общий), АМ=х, МС=5, МК=16, СН=20, АС=АМ+МС=х+5, АМ/АС=МК/СН, х/х+5=16/20, 20х=16х+80, х=20=АМ, АС=20+5=25, cosC=СН/АС=20/25=4/5, sinC=корень(1-cosC в квадрате)=корень(1-16/25)=3/5=0,6
(m-n)*n=mn-n^2=|m||n|cos (m,n)-|n|^2=2*корень(2)*сos 135 - (корень(2)) ^2=
=2*корень(2)*корень(2)/2 - 2=2-2=0
MN - средняя линия треугольника АDС (так как отрезок MN соединяет середины сторон AD и CD - дано). Значит MN=(1/2)*AC=17/2=8,5см.
QP - средняя линия треугольника АВС (так как отрезок QP соединяет
середины сторон AB и BC - дано). Значит QP=(1/2)*AC=17/2=8,5см.
QM и NP - среднии линии треугольников ADB и DCB соответственно (дано), значит QM=NP=(1/2)*DB = 17/2=8,5см.
Периметр четырехугольника MNPQ = 4*8,5=34см. Это ответ.
OD/OA =5/15 =1/3 =OC/OB
∠DOC=∠AOB (вертикальные)
△DOC~△AOB (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними)
DC/AB =1/3 <=> AB=3DC
AB+DC=24 <=> 3DC+DC=24 <=> DC=24/4=6
AB=24-DC=24-6=18
1. Пользуемся одним из признаков равенства прямоугольных треуг-ов: если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треуг-ка соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны. В нашем случае: AD - общая гипотенуза, <BAD=<CAD по условию.
2. Поскольку углы А и С равны по условию, треугольник АВС - равнобедренный и АВ=ВС. Из точки В проведен отрезок к основанию АС. Поставим там точку Н, например (я делать этого не буду, обозначь на рисунке точку сам). В треугольниках АВН и НВС по 2 одинаковых угла: <A=<C, <AHB=<СHВ. Исходя из того, что сумма углов треугольника равна 180 градусов, углы АВН и СВН также будут равны. Получаем, что треугольники АНВ и СНВ равны по второму признаку равенства треугольников: сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соотвественно равна стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника: АВ=ВС, <A=<C, <ABH=<CBH.
3. Треугольник AED равнобедренный по условию, значит углы EAD и EDA при его основании равны. Получается, что в прямоугольных треугольниках ACD и ABD гипотенуза AD - общая, а острые углы EAD и EDA равны. Следовательно, треугольники ACD и ABD равны по одному из признаков равенства прямоугольных треугольников: гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого.
Прямоугольные треугольники АВЕ и DCE также равны по гипотенузе и катету: АЕ=ED по условию (это гипотенузы), АВ=CD (катеты). Почему эти катеты равны, доказано выше (прямоугольные ACD и ABD равны между собой).
4. Зная, что в прямоугольном треугольнике катет ВС, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы АВ, находим АВ:
ВС= АВ : 2, отсюда АВ = ВС * 2 = 4*2=8
5. Зная, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов, находим угол А:
<A=90-<B=90-60=30°
Катет ВС в прямоугольном треугольнике лежит против угла А в 30°, значит, он равен половине гипотенузы АВ:
ВС=АВ:2=10:2=5
6. Зная, что сумма острых углов прямоугольного треуг-ка равна 90°, находим угол А:
<A=90-<B=90-45=45°
Таким образом, треугольник АВС является равнобедренным, поскольку углы при его основании АВ равны. Значит
ВС=АС=6
7. Рассмотрим прямоугольный треуг-ик CDB. Зная, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, находим угол DCB:
<DCB=90-<B=90-45=45°
Таким образом, получаем, что треуг-ик CDB является равнобедренным, т.к. углы при его основании ВС равны. Значит
CD=BD=8
В прямоугольном треуг-ке АВС угол А равен 90-<B=90-45=45°, он также равнобедренный. Высота CD, проведенная в равнобедренном треугольнике к его основанию, является также и медианой. Значит
BD=AD=8, AB=8+8=16
8. Рассмотрим прямоугольный треугольник ВСЕ. Зная, что сумма острых углов прямоугольного треуг-ка равна 90°, находим угол СВЕ:
<CBE=90-<BEC=90-60=30°
В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы, значит
ЕС=ВЕ:2, отсюда ВЕ=2*ЕС=2*7=14
В треугольнике АВЕ угол АЕВ равен 180-<BEC=180-60=120°. Зная, что сумма углов треугольника равна 180°, находим угол АВЕ:
<ABE=180-<A-<AEB=180-30-120=30°
Значит треугольник АВЕ - равнобедренный, т.к. углы при его основании АВ равны. Значит АЕ=ВЕ=14.
<span>9. Т.к. АВС - равнобедренный по условию, то углы А и С при его основании АС равны. Прямоугольные треугольники АЕС и CDA равны по одниму из признаков равенства прямоугольных треуг-ов: гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треуг-ка соответственно равны гипотенузе и острому углу другого. АС - общая гипотенуза, <A=<C.</span>