В условии не хватает чертежа.
Так как по условию точки M, N и K - середины сторон треугольника АВС, то MN, NK и MK - средние линии треугольника. Свойство средней линии: Средняя линия, соединяющая середины двух сторон треугольника, равна половине третьей стороны:
MN = 1/2 AC = 1/2 · 20 = 10
NK = 1/2 AB = 1/2 · 16 = 8
MK = 1/2 BC = 1/2 · 18 = 9
Pmnk = 10 + 8 + 9 = 27
Поскольку все боковые ребра равны, они исходят из одной точки, то их проекции на плоскость основания тоже равны
AH=HB=HC
получается нижняя точка основания лежит в центре описанной около основания окружности
R=(abc)/(4S)=(AB·BC·AC)/(4BD·AD)=(6·6·8)/(4·2√5·4)=(9√5)/5=HC
по теореме Пифагора
SH²=SC²-HC²=81-(81/5)
SH=(18√5)/5
Рассмотрю АМNC - равнобедренную трапецию; /МАС=180°-150°=30°=>/С=30°, т.к. AMNC-равнобедренная трапеция, а если AMNC- трапеция, то MN||AC
В трапеции АВСD угол АВС равен 120°
Так как <em><u>сумма углов трапеции, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180°</u></em>,
угол <em>ВАС=60°</em>.
Опустив из вершины В высоту ВЕ к АD, получим прямоугольный треугольник с углом
∠ АВЕ=30°.
Отрезок<em> АЕ</em> большего основания равен половине стороны АВ и <em>равен 2</em>.
Высота трапеции <em>ВЕ</em> равна АВ*sin( 60°) =4√3):2=<em>2√3</em>
Опустим из С высоту СН к АD.
Отрезок<em> ЕН</em>равен основанию ВС трапеции и <em>равен 2</em>, а
АН =2+2=4
По условию задачи ∠ АСD - прямой ( обозначено на вложенном рисунке)
<em>Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, </em>
<em>есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится </em>
<em>гипотенуза этой высотой.</em>
<em>СН</em>, как высота трапеции, равна ВЕ и<em> равна 2√3</em>
<em></em>
<em>СН²=АН*НD</em>
12=4*D
НD=3
АD=АН+НD=7
<u>Ответ</u>:АD=7