1-ый вариант решения: Построй треуг АВС, где АВ=ВС, АС-основание., тогда угВАС=угВСА=30, по условию, уг АВС=120град. АЕ-бисектрисса угВАС, значит уг ВАЕ=угЕАС=15град. теперь проведем биссектриссу угла ВСА СК, тогда получился треуг ВКЕ, где ВЕ=ВК=8, т.к по условию АВС-равноб, значит угол ВКЕ=угВЕК=30град.проведем высоту ВД из вершины В на сторону АС, т.к треуг равноб, то ВД-медиана, биссектр и восота.пусть ВД пересекает КЕ в т.О, тогда треуг ВОЕ-прямоугольный, где угол ВЕО=30град, ВЕ-гипотенуза, а мы знаем, что катет лежащий против угла 30 град = половине гипотен., значит ВО=ВЕ/2=4.теперь по тереме пифагора найдем ОЕ=√(ВЕ²-ВО²), тогда КЕ=ОЕ+ОК=2*ОЕ. рассмотрим треуг АВЕ уг ВЕА=180-угАВЕ-угВАЕ=180-120-15=45, тогда угол АЕК=45-30. рассмотрим треуг АЕК, угКАЕ=угАЕК=15 град, значит он равнобедренн, тогда КЕ=АК, АВ=АК+КВ.теперь рассмотрим треуг АВД, угВАД=30град, угВДА=90, значит треуг прямоуг, а катет лежащий против угла 30 град=половине гипотен., тогда ВД=АВ/2, по теореме пифагора найдем АД=√(АВ²-ВД²) АС=АД*2 тогда S треуг АВС=ВД*АС/2 2-ой вариант решения: угол ВАС=углу ВСА=30 угол СВА=180-2*30=60 угол ВАЕ = половине ВАС, т. е. 15 угол ВЕА= 180-ЕВА-ВАЕ=180-60-15=180-75
теорема синусов для треугольника ВАЕ ВЕ/sin(15)=АВ/sin(180-75) => АВ=ВЕsin(180-75)/sin(15)
теорема синусов для треугольника АВС АВ/sin(30)=АС/sin(60) => АС=АВsin(60)/sin(30)
<span>S=АВsin(30)АС/2=(ВЕsin(180-75)/sin(15))^2 *(sin(60)/sin(30)) *(1/2)=[32sqrt(3)]*(sin^2(75)/sin^2(15))=[32sqrt(3)]*(1-2sin^2(75)-1)/(1-2sin^2(15)-1))=[32sqrt(3)]*(cos(150)-1)/(cos(30)-1))=[32sqrt(3)]*(sin(90-150)-1)/(cos(30)-1))=[32sqrt(3)]*(sin(-60)-1)/(cos(30)-1))=[32sqrt(3)]*(sqrt(3)/2+1)/(1-sqrt(3)/2))=[32sqrt(3)]*(sqrt(3)+2)/(2-sqrt(3))) </span>3-ий вариант решения: Пусть АВ =ВС =а и АС =b, тогда СЕ = а-8 1) по теореме синусов а/ sin30 = b/ sin 120 откуда b = а sin 120/ sin30 = а√3 2) по теореме о биссектрисе угла составляем пропорцию а/b = 8/ (а-8) или а/ а√3 = 8/ (а-8) из полученной пропорции находим, что а = 8 ( 1+√3) 3) S(ABC) = 0,5 a² sin120 = 0,5*64( 1+√3)² ( √3/2) = 16√3( 1+√3)² = 32√3( 2+√3) <span>Ответ S(ABC) =16√3( 1+√3)² = 32√3( 2+√3)</span>
<em>Боковое ребро наклонной призмы равно 14 см и составляет с плоскостью основания угол 30º. <u>Нужно найти высоту призмы.</u></em><u> </u>
-------------
<em>Высота призмы - это перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания на плоскость другого основания.</em>
Т.к. основания лежат в параллельных плоскостях, высота призмы равна расстоянию между плоскостями, содержащими её основания.
Обозначим вершины призмы ABCDA1B1C1D1 (см.рисунок в приложении)
Опустим из вершины А1 перпендикуляр А1Н на плоскость основания.
А1Н ⊥АН
∆ АА1Н - прямоугольный, его катет- высота призмы А1Н - противолежит углу 30º и равен половине гипотенузы АА1.
А1Н=14:2=7 см
Иначе: А1Н=АА1•sin 30º=14•1/2=7см
–––––––––
Примечание:
<span>Высота призмы не обязательно совпадает с высотой боковой грани. Она совпадает с ней, только если призма прямая. В данном случае призма - наклонная. </span>