ДАн треугольник АВС угол B=90 BD = 24 DC =18
т.к. а//б , то угол 2=3=5( т.к. накрест лежащие)=7=78°
угол 1=180°-78°=102°
угол 1=4=6(т.к. накрест лежащие)=8=102°
Построение. Проведем высоту основания ВН. В правильном треугольнике это и медиана и биссектриса. Через центр основания J проведем прямую, параллельную стороне АС. Получим точки K и L на пересечении этой прямой с сторонами АВ и ВС соответственно. Через центр сферы О проведем прямую, параллельную стороне АС. Восстановим перпендикуляры из точек К и L и на пересечении этих перпендикуляров с проведенной прямой получим на боковых гранях призмы точки M и N. Проведя через точки А и N, С и М получим линии пересечения секущей плоскости и боковых граней призмы. Сечение призмы - равнобедренная трапеция.
Центр основания призмы J делит высоту основания в отношении 2:1, считая от вершины В (свойство медианы). Высота правильного треугольника ВН = (√3/2)*а (формула), отрезок НJ=(1/3)*ВН = (√3/6)*а. Из треугольника СОН найдем отрезок ОН по Пифагору:
ОН = √(OC²-HC²) = √(R²-a²/4) = (√(4R²-a²))/2.
Тогда OJ = √(OH²-HJ²) = √((3R²-a²)/3). Высота призмы равна
2√((3R²-a²)/3) (так как О - центр сферы).
Треугольники HOJ и HQG подобны с k=OJ/QG =1/2. => NM - средняя линия трапеции ASTC. NM = KL = (2/3)*a (из подобия треугольников АВС и KBL). Тогда ST=(1/3)*a.
Площадь сечения = площадь трапеции ASTC.
Sastc = (AC+ST)*HQ/2 = 2a√(4R²-a²)/3.
Ответ: Sastc = 2a√(4R²-a²)/3.
Для проверки: есть следствие из теоремы об описанной призме: радиус сферы, описанной около правильной треугольной призмы с высотой h и ребром основания a равен R=√(a²/3+h²/4). Подставив найденную высоту призмы, получим R=R.
Решение задачи во вложении
на сторонах треугольника построить прямоугольные треугольники, найти их площади (полу произведение катетов)
найти площадь прямоугольника, который получится при построении.
из площади прямоугольника вычесть площади прямоугольных треугольников, получим площадь заданного треугольника