1. Больше верь делам, [чем] словам.
Чем→ союз.
2 [Что] написано пером, то не врубишь топором.
Что → союзное слова.
3. [Где] правда, там и счастье.
Где → союзное слова.
4 Береги платье снову, [а] честь смолоду.
А→союз.
5 Лучше свое отдать, [нежели] чужое взять.
Нежели→союз.
6. [Кто] солгал вчера, тому [и] завтра не поверят.
Кто.→союзные слова.
И→союз.
7. Не тот живет больше, [кто] живет дольше.
кто...→союзное слово.
8 Лучше поздно, [чем] никогда.
Чем→союз.
9. [Чтобы] узнать человека, надо с ним пуд соли съесть.
Чтобы→союз.
10 [И] швец, [и] жнец, [и] в дуду игрец.
И→союз.
Что делает малыш?
Кто купается под душем?
Малыш купается где?
ПРЕДИКАТИВНАЯ ЧАСТЬ - ЭТО ПРОСТОЕ ПРЕДЛОЖЕНИЕ В СОСТАВЕ СЛОЖНОГО, КОТОРОЕ С ДРУГИМИ ЧАСТЯМИ ОБРАЗУЕТ ЕДИНОЕ ЦЕЛОЕ. В ДАННОМ ПРЕДЛОЖЕНИИ ИХ - 4
В данном случае все словосочетания с ПОДЧИНИТЕЛЬНОЙ связью.
Взаимная связь между подлежащим и сказуемым. Таких единиц здесь нет.