Применим признак сравнения в предельной форме.Сравним звдвнный ряд со сходящимся обобщённо-гармоническим рядом
Так как предел не =0, то оба ряда ведут себя одинаково, то есть сходятся.
Заметим,что х=2 корень уравнения. Попробуем доказать, что он единственный действительный корень.
x*(x^4+x^2+1)=-42
Ясно, что х меньше 0. Если х меньше -2 , то слева выражение меньше -42. Это легко показать. Действительно, выражение в скобках больше 21, а умножается на число по модулю больше2.
Также если х больше -2, то выражение больше -42. Действительно, т.к. модуль х меньше 2 выражение в скобках меньше 21, а множитель х меньше 2.
Значит других действительных корней выражение не имеет.
2cos2x+4cos(3Π/2-x)+1=0
2cos2x-4sinx+1=0
2(1-2sin^2x)-4sinx+1=0
-4sin^2x-4sinx+3=0
4sin^2x+4sinx-3=0
Пусть t=sinx, где t€[-1;1]
4t^2+4t-3=0
D=16+48=64
t1=(-4-8)/8>-1 - посторонний
t2=(-4+8)/8=1/2
Вернёмся к замене
sinx=1/2
x1=Π/6+2Πn, n€Z.
x2=5Π/6+2Πn, n€Z.