Точки касания поверхности сферы и плоскостей ASB, BSC и ASC - это точки касания касательных к поверхности шара, проведённых из точки S.
Все касательные к сфере, проведённые из одной точки, равны. В нашем случае это 4√3 см. Касательная и радиус окружности, проведённый к точке касания, перпендикулярны, значит достаточно рассмотреть один прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара ОМ, касательной SM и искомым расстоянием SО, где SO²=SM²+ОМ².
Площадь сферы: S=4πR² ⇒ R=√(S/4π)=√(64π/4π)=4 см.
SO²=(4√3)²+4²=64,
SO=8 см - это ответ.
Построение можно представить в виде перевёрнутой правильной треугольной пирамиды без основания в которую поместили шар, касающийся своей поверхностью боковых граней пирамиды.
1 Задача. Найдите площадь равностороннего треугольника , сторона которого 12см
Прямоугольный треугольник АВО
АВ = 15 см
ОВ = 9x см
AO = h см
т. Пифагора
15² = (9x)² + h²
Прямоугольный треугольник АДО
АД = 20 см
ОД = 16x см
AO = h см
т. Пифагора
20² = (16x)² + h²
Решаем эти два уравнения
Вычтем из второго первое
20² - 15² = 256x² - 81x²
400 - 225 = 175x²
175 = 175x²
x = 1 см
---
20² = 16² + h²
400 = 256 + h²
h² = 144
h = 12 см
АО = h = 12 см